致密低渗透储层天然裂缝发育，天然裂缝的存在不仅会改变储层流体的渗流路径，还决定着储层注水开发效果。对于前者，赵阳等^[1]采用真实砂岩模型进行水驱替实验，并发现在裂缝型储层水驱油过程中，注入水将以多条线路向出口端非均匀推进，即发生非活塞式水驱油。对于后者，时佃海等^[2]通过矿场实验研究了天然裂缝对水驱开发效果的影响，并得出在油水井间的裂缝会造成部分油井含水上升快，甚至水淹，从而影响注水效果。为进一步研究裂缝如何影响水驱效果，刘建军等^[3]采用薄板模型物理模拟裂缝方向与流动方向平行和垂直的水驱油效果，并得出与渗流方向平行的裂缝容易导致注入水突破，见水时间早，采收率低；而与渗流方向垂直的裂缝能够使无法运移的油活动起来，采收率高。为细化研究裂缝方向与流动方向关系对水驱油效果的影响，周娟等^[4]采用二维玻璃微模型研究了裂缝与流动方向夹角为0°~90°时的水驱油效果，并得出剩余油会随裂缝与主流线角度的增加而减小，水驱油效果则逐渐变好。Zhang R H等^[5]采用数值模拟方法研究了裂缝方向与流动方向夹角为0°和±45°时的水驱效果，得出裂缝方向与流动方向夹角为−45°时采收率最高，储层含水率最低，驱油效果最好。因此，天然裂缝的存在及其方向是影响水驱开发效果的重要因素。

尽管致密低渗透储层发育了一些天然微裂缝，并且单条微裂缝的渗透率大于基质渗透率，但由于其仅占储层总体积的极小部分，原始状态下对储层整体渗透率的贡献几乎等同于基质部分，在开发过程中表现为油井不压裂就无自然产能或自然产能低^[6-7]。因此，对致密低渗透储层仍需要进行压裂开采。同时，全球采油经验表明：裂缝发育型油藏水驱开发效果要优于常规储层水驱开发效果^[8]。结合这2种提高采收率方式，Yuan B等^[9]针对天然裂缝发育致密储层，将压裂和水驱结合，通过数值模拟开展多级压裂水驱实验研究，并得出这种方法能够提高产量和最终采收率。然而，在该研究过程中忽略了天然裂缝的分布对水驱油的影响，天然裂缝的分布也会在压裂后影响注入水的波及范围，认识不清则同样会导致水窜，浪费注入水。

考虑储层天然裂缝发育、储层和流体的可压缩性以及流体重力对渗流的影响，基于非活塞式水驱油理论，建立了油水两相渗流数学模型，通过有限元方法定量分析天然裂缝分布对多级压裂储层水驱油开发效果的影响，揭示油水两相流体在多尺度孔隙结构中的渗流规律和剩余油分布规律，为后期寻找剩余油、堵水调剖及制定采油开发方案奠定基础。

储层单井模拟区域为480 m×400 m×70 m，根据其对称性，选用水平井筒以上储层区域进行研究，该井段采用3级分段压裂技术，水力裂缝在高应力和高逼近角条件下于交点处直接穿过天然裂缝，继续沿原方向延伸^[10-11]，水力裂缝与天然裂缝夹角为a，在近井筒附近形成典型的基质-裂缝系统，物理模型如图1(a)所示，其中$ {\Gamma _{\text{1}}} $和$ {\Gamma _{\text{2}}} $为储层边界；$ {\Gamma _{\text{3}}} $为人工裂缝；$ {\Gamma _{\text{4}}} $为天然裂缝。同时，压裂后采用人工注水保持压力，假设油水界面非均匀单向向前推进，即非活塞式水驱油，非活塞式水驱油单向流模型如图1(b)所示。

图  1  双重孔隙介质物理模型及非活塞式水驱油单向流模型

Figure 1.  Physical model of dual porous media and one-way flow model of non piston water flooding

基于双重介质模型提出假设条件：(1)储层压裂后渗流通道主要为基质和裂缝，裂缝不连续；(2)储层均质各向同性、微可压缩且压缩系数不随时间变化；(3)考虑重力对致密油流动的影响；(4)油水两相之间相互独立，二者之间无相间传质现象发生；(5)忽略基岩与裂缝间的窜流；(6)忽略油井的不完善性；(7)储层中油水两相流动均符合达西渗流规律，且渗流过程等温；(8)储层流体仅包含油相和水相，流体微可压缩但压缩系数不随时间变化；(9)油水两相流体黏度与压力无关；(10)油水两相相对渗透率仅与饱和度有关。

考虑油水两相流的基质系统连续性方程^[12]

基质系统油水两相运动方程

基质系统固体状态方程

基质系统油水两相液体状态方程

基质系统油水两相相对渗透率

将式(2)~式(5)代入式(1)化简得出流出量和流入量公式。

(1)流出量公式。

由于$ {C_{\rm{m}}}{C_{\rm{o}}}$、${C_{\rm{m}}}{C_{\rm{w}}} $的乘积极小忽略不计，式(6)化简为

储层中任意一点油水两相饱和度关系为${S_{ \rm{w}}} + {S_{ \rm{o}}} = 1 $，因此式(7)简化为

(2)流入量公式。

流入量与流出量相等，式(1)最终简化为

考虑油水两相流裂缝系统连续性方程^[15]

裂缝系统油水两相运动方程

裂缝系统固体状态方程

裂缝系统油水两相液体状态方程

裂缝系统油水两相相对渗透率

将式(12)~式(15)代入式(11)化简得

任意时刻通过两相区内任一截面水、油流量为

任意时刻该断面上的含水率、含油率为

(1)外边界条件。

(2)内边界条件。储层内边界条件为

裂缝内边界条件为

油水边界条件为

(3)初始条件。

井深4 000 m，井眼半径0.01 m，储层初始压力42.32 MPa，井底压力12 MPa，油的饱和压力11.34 MPa，油藏长度400 m，油藏宽度240 m，油藏厚度70 m，水相黏度1 mPa·s，油相黏度2.25 mPa·s，水相密度1 000 kg/m³，油相密度775 kg/m³，基质初始孔隙度0.0164，人工裂缝初始孔隙度0.45，天然裂缝初始孔隙度0.45，基质渗透率0.004 μm²，人工裂缝渗透率1.5 μm²，天然裂缝渗透率0.04 μm²，人工裂缝宽度5 mm，天然裂缝宽度2 mm，基质压缩系数3×10⁻⁴ MPa⁻¹，人工裂缝压缩系数4×10⁻⁴ MPa⁻¹，天然裂缝压缩系数2.5×10⁻⁴ MPa⁻¹，油相压缩系数7×10⁻³ MPa⁻¹，水相压缩系数3.7×10⁻³ MPa⁻¹，注水速度30 m³/d，油相相对渗透率为${k_{{{{\rm{rs}}_{{\rm{o}}}}}}} = 35.408 - 240.688{S_{\text{w}}}+ {\text{ 618}}{\text{.365}}S_{\text{w}}^2 - 707.125S_{\text{w}}^3 + 302.464S_{\text{w}}^4$，水相相对渗透率为${k_{{{{\rm{rs}}_{{\rm{w}}}}}}} = 0.457 - 2.737{S_{\text{w}}} + 5.001S_{\text{w}}^2 - 2.508S_{\text{w}}^3$。

选取瞬态油相流量和储层含油率为基本变量，采用有限元数值解法对水驱油数学方程进行离散求解。首先对求解域进行网格划分，选用三角形网格，并在裂缝区域进行网格加密，通过自由剖分方式离散化求解域，网格剖分结果如图2。将求解参数赋值于基质系统和裂缝系统，基于水驱油数学方程，采用向后差分方法，最终获得水驱开发条件下油田的瞬态产量和储层含油率。

图  2  网格剖分结果

Figure 2.  Mesh generation results

(1)累积产量。图3为不同的人工裂缝与天然裂缝夹角下储层累积产量随时间变化，可以看出，采用水驱开发压裂后的储层能大幅提高单井产量。

图  3  不同裂缝夹角下储层累积产量随时间变化

Figure 3.  Variation of reservoir cumulative production with time under different fracture angles

水驱初始阶段，基质系统中首先进行水驱油，从供给边界到原始油水界面只有水在运动，水驱前缘在基质系统中匀速向前推进，而在近井筒附近人工裂缝中的原油依托高导流裂缝进入水平井筒，水驱前缘到水平井筒间为纯油流，进而油井累积产量迅速增加，累积产油量从小到大依次为人工裂缝与天然裂缝夹角为45°、75°、60°、15°、90°和30°时的产量，且油井产量递减速度较小。随着水驱开采时间延长，水驱前缘进入裂缝区域，由于裂缝渗流阻力较小且水的黏度较小，注入水沿裂缝突进，同时，基质系统中的油在重力和供给边界压力及水驱动力的作用下向裂缝系统中运移，此时水驱前缘到水平井筒之间仍为纯油流，但原始油水界面到水驱前缘为油水两相流。然而，由于基质的渗透率极低，造成压力无法向储层基质含油区域较远边界传播^[13]，同时，油水两相的存在也增大了油相的渗流阻力，使得基质中的油向裂缝运移的速度变慢，无法快速运移至水平井筒，油井产量递减速度较大，致使油井累积产量增加速度减慢，油井产量递减速度从小到大依次为人工裂缝与天然裂缝夹角为90°、60°、45°、30°、75°和15°时的产量，所以人工裂缝与天然裂缝夹角为90°时油井产量最高。水驱油开发后期，油井仍未见水，受水驱前缘动力和储层含油量影响，油井以较低产量进行生产，日产量在5m³/d波动，累积产油量从小到大依次为人工裂缝与天然裂缝夹角为15°、30°、75°、60°、45°和90°时的产量，人工裂缝与天然裂缝夹角相对越大，油井累积产量相对越高。

(2)含油率。图4为压裂储层水驱开发第2 000 d时不同裂缝分布下储层剩余油分布，总体而言，水驱油在基质和裂缝中同时发生，水驱油效率较低且水驱前缘向前推进不均匀。基质系统渗透率相对裂缝系统较低，注入水难以大范围波及基质系统，注入水则发生绕流并沿着阻力较小的裂缝系统向前突进，水窜较快^[14-15]。因此，基质中的水驱油效率极低，裂缝中的水驱油效率相对基质中的水驱油效率较高。与此同时，不同的人工裂缝和天然裂缝夹角显著影响水驱油开发效果。当人工裂缝与天然裂缝夹角小于等于30°时，基质系统和裂缝系统的驱油效果相当；当人工裂缝与天然裂缝夹角大于30°时，裂缝系统的驱油效果明显优于基质系统；当人工裂缝与天然裂缝夹角为90°时，裂缝系统和基质系统的驱油效果显著优于其他角度的裂缝分布。当人工裂缝与天然裂缝夹角为90°时，人工裂缝与主流线平行，增大了储层渗透率，天然裂缝与主流线方向垂直，阻挡了注入水沿着主流线方向的推进，注入水发生部分绕流，增大了注入水在基质系统的波及范围，使得基质中无法运移油活动起来。同时，裂缝间干扰对水驱油效果影响显著，不同的人工裂缝与天然裂缝夹角条件下裂缝间的干扰程度不同，人工裂缝与天然裂缝夹角越大，裂缝间的干扰越明显，注入水更能够波及裂缝间难以驱替的基质区域，水驱开发后剩余油较少。因此，当人工裂缝与天然裂缝夹角为90°时，注入水波及范围最大，剩余油最少。

图  4  第2 000 d储层含油率分布

Figure 4.  Distribution of oil-bearing rate of the 2 000 d reservoir

(1)基于非活塞式水驱油机理，考虑流体的重力和裂缝对水驱油效果的影响，建立了压裂后水驱开发致密油藏的油水两相渗流模型，通过累积产量和含油率定量分析人工裂缝与天然裂缝夹角对压裂储层水驱开发效果。

(2)人工裂缝与天然裂缝夹角显著影响压裂储层单井产量，人工裂缝与天然裂缝夹角越大，油井产量相对越高。水驱初始阶段，供给边界到原始油水界面为纯水流，油井累积产量迅速增加，累积产油量从小到大依次为人工裂缝与天然裂缝夹角为45°、75°、60°、15°、90°和30°时的产量，且油井产量递减速度较小；随着水驱开采时间的延长，水驱前缘进入裂缝区域，注入水沿着裂缝突进，原始油水界面到水驱前缘为油水两相流，油井累积产量增加速度减小，而油井产量递减速度增大，从小到大依次为人工裂缝与天然裂缝夹角为90°、60°、45°、30°、75°和15°时的产量；水驱油开发后期，从油水前缘到生产井为纯油流，油井以较低产量进行生产，累积产油量从小到大依次为人工裂缝与天然裂缝夹角为15°、30°、75°、60°、45°和90°时的产量。

(3)人工裂缝与天然裂缝夹角显著影响压裂储层剩余油分布，夹角增大，扩大了注入水波及基质系统的范围，驱油效果显著，但水驱油效率整体较低。当人工裂缝与天然裂缝夹角小于等于30°时，基质系统和裂缝系统的驱油效果相当；当人工裂缝与天然裂缝夹角大于30°时，裂缝系统的驱油效果明显优于基质系统；当人工裂缝与天然裂缝夹角为90°时，裂缝系统和基质系统的驱油效果显著优于其他角度的裂缝分布，注入水波及范围最大，剩余油最少。

符号说明：

A为液体通过的截面面积，m²；$ {C_{\text{f}}} $、$ {C_{\text{m}}} $分别为裂缝系统、基质系统孔隙压缩系数，MPa⁻¹；$ {C_{\text{o}}} $、$ {C_{\text{w}}} $分别为油相、水相压缩系数，MPa⁻¹；${d_{\text{f}}}$为裂缝宽度，mm；${f_{\rm{o}}}$、${f_{\rm{w}}}$分别为含油率和含水率，无量纲；$ {k_{\text{f}}} $、$ {k_{\text{m}}} $分别为裂缝系统和基质系统渗透率，μm²；$ {k_{{{\text{s}}_{\text{o}}}}} $、$ {k_{{{\text{s}}_{\text{w}}}}} $分别为油相和水相渗透率，μm²；$ {p_{\text{f}}} $为裂缝系统压力，MPa；$ {p_{\text{i}}} $为原始储层压力，MPa；$ {p_{\text{m}}} $为基质系统压力，MPa； p_o为储层油相压力，MPa； p_w为储层水相压力，MPa； $ {p_{{{\text{s}}_{\text{o}}}}} $为油相饱和度为S_o时储层油相压力，MPa； $ {p_{{{\text{s}}_{\text{w}}}}} $为水相饱和度为S_w时储层水相压力，MPa；$ {q_{\text{o}}} $、$ {q_{\text{w}}} $分别为油藏条件下油相、水相流量，m³/d；${S_{{i}}}$为某一液相(油相或水相)饱和度，%；${S_{\text{o}}}$为油相饱和度，%；${S_{\text{w}}}$为水相饱和度，%；$ {v_{\text{m}}} $为基质系统流体渗流速度，cm/s；$ {v_{{\text{mo}}}} $、$ {v_{{\text{fo}}}} $分别为基质系统、裂缝系统油相渗流速度，cm/s；$ {v_{{\text{mw}}}} $、$ {v_{{\text{fw}}}} $分别为基质系统、裂缝系统水相渗流速度，cm/s；${v_{{{{\rm{f}}i}}}}$为裂缝系统某一液相(油相或水相)渗流速度，cm/s；$ {\phi _{\text{f}}} $为裂缝孔隙度，%；$ {\phi _{{\text{fo}}}} $为裂缝系统初始孔隙度，%；$ {\phi _{\text{m}}} $为基质孔隙度，%；$ {\phi _{{\text{mo}}}} $为基质系统初始孔隙度，%；$ {\rho _{{{\text{s}}_{\text{o}}}}} $为储层条件下油相密度，kg/m³；$ {\rho _{{{\text{s}}_{\text{w}}}}} $为储层条件下水相密度，kg/m³；$ {\rho _{\text{o}}} $、$ {\rho _{\text{w}}} $分别为原始储层油相、水相密度，kg/m³；${\rho _{{{\text{s}}_{{i}}}}}$为储层条件下某一液相(油相或水相)密度，kg/m³；$ {\mu _{\text{o}}} $、$ {\mu _{\text{w}}} $分别为储层条件下油相、水相黏度，Pa·s；$ \nabla $为梯度算符，无量纲。