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原始水平井设计轨道一般是二维的[1-4]，以减少设计难度和施工难度，但在很多情况下也采用三维的[5-8]。无论原始设计是二维的还是三维的，施工过程的修正井眼轨道设计(也称待钻井眼轨道设计)都是三维的。三维水平井修正轨道设计的已知参数是当前井底的三维坐标值和井斜角及方位角，入靶点的三维坐标值和井斜角及方位角。由于入靶点的限定条件是入靶点的三维坐标值和井斜角及方位角，并没有限定井斜角为90°，为此该设计方法适用于一切限定入靶点的三维坐标值和井眼方向的定向井。目前，已有的三维修正水平井轨道设计方法是斜平面圆弧-直线-斜平面圆弧法[9]，即双空间圆弧+直线法。这种设计方法是针对滑动送钻导向钻井系统[10-13]提出的。现在，旋转导向钻井系统[14-15]应用得越来越多，这种方法设计出来的轨道是否还是最优？有没有更好的设计方法？为了与旋转导向钻井系统的发展相适应，笔者提出了2种三维水平井修正轨道设计方法——二次函数法和弹性管柱插连法，介绍其物理模型、数学模型，以及待解决的问题和潜在价值。
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图1描述了三维水平井的井口(坐标原点)、靶区[16]、设计轨道与实钻轨迹之间的关系。由于滑动送钻导向钻井技术先于旋转送钻导向钻井技术出现，并且每趟钻的导向钻具上的弯角基本恒定，易于钻出曲率值基本恒定的井眼，为此，最先出现的三维水平井修正轨道设计方法是斜平面圆弧-直线-斜平面圆弧法[9]。
图 1 实钻轨迹与设计轨道和靶区
Figure 1. Actual trajectory, designed trajectory and target
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该模型可以用图2所示通过两个喇叭口的拉线表示。图中，A点为当前井底，N1,E1,D1,α1,φ1为A点的北坐标、东坐标、垂深、井斜角和方位角；B点为入靶点，N2,E2,D2,α2,φ2为B点的北坐标、东坐标、垂深、井斜角和方位角；R1为第一圆弧段曲率半径；R2为第二圆弧段曲率半径。在A点，以曲率半径R1对应的圆弧段绕当前井眼轴线旋转一周，形成一个喇叭口；在B点，以曲率半径R2对应的圆弧段绕目标段井眼轴线旋转一周，形成另一个喇叭口；将一无重绳索穿过已钻井筒和目标井筒及两个喇叭口后拉直,则绳索形状即为设计的井眼轨道。
图 2 两个喇叭口-拉绳法物理模型
Figure 2. Physical model of two bells-rope method
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文献［9］给出了完整的数学模型及求解方法。
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几乎所有的三维水平井修正轨道设计都在采用该方法。
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二次函数法中，井斜角和方位角都是A点到修正井眼所在点井眼长度的二次函数，在当前井底和入靶点与井眼轨道相切,如图3所示。
图 3 二次函数法物理模型
Figure 3. Physical model of quadratic function method
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已知条件为当前井底的三维坐标值、井斜角和方位角，入靶点的三维坐标值、井斜角和方位角。若考虑提前入靶的情况，则将B点沿水平井段轴线左移。
假设
$$\left\{ \begin{array}{l} \alpha {\rm{ = }}{\alpha _1}{\rm{ + }}{a_{\rm{1}}}l{\rm{ + }}{a_{\rm{2}}}{l^{\rm{2}}}\\ \textit{φ} = {\textit{φ} _1} + {b_1}l + {b_2}{l^2} \end{array} \right.$$ (1) 式中，α为井斜角，°；φ为方位角，°；l为从A点开始沿井眼轨道到所在点的长度，到达B点时，l=L,m；L为A点到B点的轨道长度，是个未知量；a1,a2,b1,b2为待定系数。共5个未知量，需要5个独立方程才能确定，上下两点各有5个参数，恰好可以列出5个独立方程。
$$\left\{ \begin{array}{l} {\alpha _2}{\rm{ = }}{\alpha _1}{\rm{ + }}{a_{\rm{1}}}L{\rm{ + }}{a_{\rm{2}}}{L^{\rm{2}}}\\ {\textit{φ} _{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\textit{φ} _{\rm{1}}}{\rm{ + }}{b_{\rm{1}}}L{\rm{ + }}{b_{\rm{2}}}{L^{\rm{2}}}\\ {N_2} - {N_1} = \int_0^L {\sin \alpha \cos \textit{φ} {\mathop{\rm d}\nolimits} l} \\ {E_2} - {E_1} = \int_0^L {\sin \alpha \sin \textit{φ} {\mathop{\rm d}\nolimits} l} \\ {D_2} - {D_1} = \int_0^L {\cos \alpha {\mathop{\rm d}\nolimits} l} \end{array} \right.$$ (2) -
求解式(2)中的a1,a2,b1,b2和L。
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在该模型中，将弹性钻柱或套管柱两端分别插入上端已钻井筒和目标水平井筒，在管柱两端加上拉力,当前井底处的拉力为TA，入靶点处的拉力为TB，则管柱中心线即为设计的井眼轨道，如图4所示。
图 4 弹性管柱插连法物理模型
Figure 4. Physical model of elastic string connection method
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已知条件：当前井底的三维坐标值、井斜角和方位角，入靶点的三维坐标值、井斜角和方位角。若考虑提前入靶的情况，则将B点沿水平井段轴线左移。
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如果管柱轴线用r=N(l)i+E(l)j+D(l)k表示,由于弹性管柱处于静态、没有扭转、轴向变形不影响计算结果，油气井杆管柱动力学基本方程[17-18]简化为
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{\rm{d}}{{F}}}}{{{\rm{d}}l}} + {{h}} = 0}\\ {\dfrac{{{\rm{d}}{{M}}}}{{{\rm{d}}l}} + {{{e}}_{\rm{t}}} \times {{F}} = 0}\\ {{{M}} = EI\left( {{{{e}}_{\rm{t}}} \times \dfrac{{{\rm{d}}{{{e}}_{\rm{t}}}}}{{{\rm{d}}l}}} \right)} \end{array}} \right.$$ (3) 式中，F为管柱的内力，N；h为单位长度管柱上的重力，N/m；M为管柱的内力矩，N·m；E为弹性模量，N/m2；I为截面惯矩，m4；et为管柱变形线的切线方向的单位向量，且
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{e}}_{\rm{t}}} = \dfrac{{{\rm{d}}{{r}}}}{{{\rm{d}}l}}}\\ {\dfrac{{{\rm{d}}{{{e}}_{\rm{t}}}}}{{{\rm{d}}l}} = {k_{\rm{b}}}{{{e}}_{\rm{n}}}}\\ {\dfrac{{{\rm{d}}{{{e}}_{\rm{n}}}}}{{{\rm{d}}l}}{\rm{ = }}{k_{\rm{n}}}{{{e}}_{\rm{b}}} - {k_{\rm{b}}}{{{e}}_{\rm{t}}}}\\ {\dfrac{{{\rm{d}}{{{e}}_{\rm{b}}}}}{{{\rm{d}}l}} = - {k_{\rm{n}}}{{{e}}_{\rm{n}}}} \end{array}} \right.$$ (4) 其中
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k_{\rm{b}}^2 = \dfrac{{{{\rm{d}}^2}{{r}}}}{{{\rm{d}}{l^2}}} \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^2}{{r}}}}{{{\rm{d}}{l^2}}}}\\ {{k_{\rm{n}}} = \left( {\dfrac{{{\rm{d}}{{r}}}}{{{\rm{d}}l}},\dfrac{{{{\rm{d}}^2}{{r}}}}{{{\rm{d}}{l^2}}},\dfrac{{{{\rm{d}}^3}{{r}}}}{{{\rm{d}}{l^3}}}} \right)\bigg/k_{\rm{b}}^2} \end{array}} \right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$$ (5) 式中，en和eb分别为管柱变形线的主法线方向和副法线方向的单位向量；kb和kn分别为r点的曲率和挠率，m−1。
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(1)当前井底。
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{r}}(0) = {N_1}{{i}} + {E_1}{{j}} + {D_1}{{k}}}\\ {{{\left. {\dfrac{{{\rm{d}}{{r}}}}{{{\rm{d}}l}}} \right|}_{l = 0}} = \sin {\alpha _1}\cos {\textit{φ} _1}{{i}} + \sin {\alpha _1}\sin {\textit{φ} _1}{{j}} + \cos {\alpha _1}{{k}}}\\ {{{\left. {\left( {{{F}} \cdot \dfrac{{{\rm{d}}{{r}}}}{{{\rm{d}}l}}} \right)} \right|}_{l = 0}} = {T_{\rm{A}}}} \end{array}} \right.$$ (6) (2)入靶点。
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{r}}(L) = {N_2}{{i}} + {E_2}{{j}} + {D_2}{{k}}}\\ {{{\left. {\dfrac{{{\rm{d}}{{r}}}}{{{\rm{d}}l}}} \right|}_{l = L}} = \sin {\alpha _2}\cos {\textit{φ} _2}{{i}} + \sin {\alpha _2}\sin {\textit{φ} _2}{{j}} + \cos {\alpha _2}{{k}}} \end{array}} \right.$$ (7) 这是一个空间几何非线性梁问题。
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求解式(3)~(7)组成的数学模型，得到r=N(l)i+E(l)j+D(l)k的具体数值或表达式。
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(1)适应钻进方法的比较。斜平面圆弧-直线-斜平面圆弧法适合滑动几何导向钻进；二次函数法和弹性管柱插连法适合旋转导向钻进。
(2)设计井段长度的比较。
(3)设计井段施工难度的比较。
(4)设计井段和水平井段施工中，摩阻的比较。理论上，在某一特定条件下，管柱在弹性管柱插连法设计的井筒内，与井壁的接触压力全为0，这一点与悬链法[19]类似。
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(1)弹性管柱插连法室内实验。比较理论设计结果与实验结果。
(2) 3种方法设计结果的现场实钻验证及对比。
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二次函数法和弹性管柱插连法必将成为新的三维水平井修正轨道设计方法。两种方法的设计理念和数学模型已经建立，下一步的工作是求解这两种方法的数学模型、编程和现场应用。
Developing quadratic function method and elastic string connection method for three-dimensional trajectory modifying design of horizontal well
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摘要: 在钻井过程中，实钻井眼轨迹与原设计井眼轨道都有一定的差值。当差值较大时，为了钻达靶区，必须及时地对待钻段井眼轨道进行修正设计。无论原始设计是二维的还是三维的，施工过程的修正井眼轨道设计都是三维的。给出了针对滑动送钻导向钻井系统提出的三维水平井修正井眼轨道设计的斜平面圆弧-直线-斜平面圆弧法的物理模型，提出了更适于旋转导向钻井系统的两种三维水平井修正井眼轨道设计方法——二次函数法和弹性管柱插连法的物理模型、数学模型，并对其潜在价值和待攻克的问题进行了分析。Abstract: In the process of well drilling, there is a certain deviation between the actual hole trajectory and the design value. When the deviation is larger, modifying design shall be carried out on the hole trajectory to be drilled in time in order to reach the target. No matter whether the original design is two dimensional or three dimensional, the trajectory modifying design in the process of construction shall be three dimensional. The physical model of inclined plane arc-straight line-inclined plane arc method for the three-dimensional trajectory modifying design of horizontal well which is put forward for the slide bit feeding and steering drilling system was established. Then, physical model and mathematical model of two three-dimensional horizontal well trajectory modifying design methods which are more suitable for rotary steering drilling system (namely quadratic function method and elastic string connection method) were put forward. Finally, the potential value and the problems to be solved were analyzed.
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图(4)
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