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致密油是中国未来最为现实的石油接替资源之一，但因致密油储层具有岩性致密、孔喉微小、渗流阻力大等特点，故较常规油藏其开发难度较大[1]。“水平井钻井+体积压裂”技术已成为有效开发致密油藏的关键手段[2-4]。然而，由于水平井钻井、体积压裂成本极高，所以在勘探开发初期需对体积压裂改造效果进行评价，以不断优化压裂设计方案，达到提高整个油田产量的目的[5]。
目前压裂效果评价方法主要有微地震监测技术、产能指示剂技术和数理统计方法等。Mayerhofer等[6]根据微地震数据估算出了储层改造体积(SRV)，并发现SRV对压裂改造效果有重要影响。樊建明等[7]根据微地震监测数据对水平井井距进行了优化，并结合现场试验验证了该方法确定井距的可行性。梁晓伟等[8]通过微地震监测数据研究表明入地液量与人工裂缝带长为正相关关系，并指出改造工艺是影响产量的关键因素，但没有考虑地质因素对压裂改造效果的影响。王纳申等[9]通过微地震数据反演了裂缝参数并计算了改造体积进而定量评价了姬塬油田的压裂效果。微地震技术可直观反映出压裂改造区域的大小，但是存在成本高、精度差等缺点。
产能指示剂技术是评价各层(段)压裂效果的重要手段[5, 10-11]。Salman等[11]通过产能指示曲线对比分析了巴肯与鹰滩的致密油开发方案和地质参数，并对致密油的压裂效果进行了评价。赵政嘉[12]等利用示踪剂监测对束鹿凹陷的致密油压裂效果进行了综合评价，形成了压裂段产量贡献率的测量方法。赵强等[13]通过示踪剂的回采率评价了大庆致密油藏各压裂改造段效果，并结合测井数据加以分析得出储层物性条件是影响压裂改造效果的关键因素。Panichelli等[14]利用化学示踪剂计算了不同生产时间各压裂段对总产量的贡献率，并分析了不同改造参数对各段贡献率的影响。然而产能指示剂技术测试时间长、且化学示踪剂一般对生态环境有害。
数理分析统计方法是通过对油田的地质因素和工程因素进行统计和分析，找出产量的主控因素，为优化压裂方案提供依据。李玉伟等[15]利用灰色理论分析了影响压裂效果的因素，并结合现场来分析压裂效果评价的准确性。Centurion等[16]通过多元线性回归统计方法分析了水平井产量与压裂施工参数的关系，结合油田现场对产量的主控因素进行了分析，为油田的压裂改造提供了科学的指导。才博等[17]应用信息量分析方法分析了产能的影响因素，指出压裂液量、砂量的优化是开发致密油急需解决的问题。Mohaghegh等[18]利用模糊集合理论将水平井划分了不同类型评价其压裂效果，并且根据关键绩效法判断出了影响产量的主要因素，发现油层的平均厚度对产量的影响最大。基于微地震监测技术和产能指示剂技术的压裂效果评价需耗费较长时间和花费额外的成本，而数理统计方法避免了上述的缺陷，而且数理分析统计方法可直接地判断影响产量的主控因素，为水平井体积压裂方案优化设计提供有效的依据。
产量的预测方法主要有数理统计方法和基于人工智能的方法。Lolon等[19]通过随机森林法、多元线性回归等不同手段进行了产量预测，并指出总砂量和总液量是影响压裂改造效果最关键的两个参数。Mohaghegh等[18]综合地质、完井和压裂参数利用神经网络建立了初期产量预测模型，并绘制了不同压裂参数的产量图版。潘有军等[20]先通过灰色关联法确定了影响初期产量的因素，发现影响产能的主要因素有砂量、油层厚度、液量和段数，先将产能进行了归一化处理，然后利用多元线性回归实现了致密油水平井产量的准确预测。王冲[21]利用地质参数的包络面积和压裂施工参数建立了对数预测模型，实现了对体积压裂水平井的产量预测，但是没有考虑到水平段长度和段数等施工参数。本文综合考虑了地质因素参数和施工因素参数对产量的影响，结合模糊集合理论对水平井体积压裂效果进行评价[18]，最后依据影响产能主控因素通过多元线性回归对产量进行了预测，为该区域的致密油开发提供指导。
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经典集合描述的是“非此即彼”、“非黑即白”的精确概念。经典集合以二值逻辑为基础，即对于每个元素
$x$ ，若$x$ 属于集合${{U}}$ ，其特征函数为1；若$x$ 不属于集合${{U}}$ ，则其特征函数为0[18, 22-23]。Zadeh最早于1965年提出了模糊集合概念，创新性地把集合从确定性集合推广到不确定性集合，用来解决现实生活中在“非此即彼”之间有界限不确定的模糊问题，为复杂问题的分析和决策提供了一种新思路[24-26]。模糊集合扩充了经典集合中元素的隶属关系，判断元素是否属于某一集合不只有“是”与“否”两种情况，即元素的隶属度可以为[0，1]间任意的数值[24]。若用经典集合描述温度的高低，如图1(a)，若温度小于30 ℃可认为是低温，而大于30 ℃为高温，当温度在29.99 ℃时如何描述温度的高低便是一个棘手的问题。而当引入模糊集合论，如图1(b)，当温度小于10 ℃为低温、大于50 ℃为高温、介于10~50 ℃既为高温也为低温，这样就更加直观和清晰地描述了温度的高与低，也解决了对模棱两可的概念进行描述的问题。
图 1 集合理论评价温度的高低
Figure 1. Temperature evaluation based on the set theory
同理，对致密油水平井而言，高产井、低产井、开发效果一般的水平井应该如何归属是一个关键的问题。如图2(a)，在实际生产中判断一口生产井是高产井还是低产井并不是一个二值逻辑的问题，因此可引入模糊集合论并将致密油水平井按产量进行模糊分类，图2(b)是对鄂尔多斯盆地的55口井建立适当的隶属度函数进行分类的示意图，以进一步分析和评价生产井压裂的改造效果。
图 2 集合理论评价产量的高低
Figure 2. Production evaluation based on the set theory
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由于体积压裂水平井投产时间长的井数不是足够多，所以需增加分析的样本数以保证压裂效果评价具有真实性和有效性。由于生产井的峰值产量具有代表性，后期对峰值产量进行预测时有利于指导现场配产，且油井的高产期一般较短，故本文选取了3~5个月的日产量平均值作为峰值平均日产量[16]，其选取原则如下：(1)产量递减型，选取开始递减3~5个月的日产量平均值作为峰值平均日产量；(2)产量上升后下降型，选取下降后稳定波动范围内3~5个月的日产量平均值作为峰值平均日产量。对W1井等25口水平井的峰值平均日产量与4年累产的关系做了相关性分析，结果表明峰值平均日产量与4年累产有很好的相关性，拟合度接近0.9，故峰值平均日产量可以作为压裂效果的评价指标。
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模糊集合是用来表达模糊概念的集合，根据模糊集合的特点建立适当的隶属度函数，对模糊对象进行分析。本文基于模糊集合形成了一套快速、有效的将水平井按产量进行分类的方法，并通过Matlab编程实现了快速分类。首先将由产量最小值和产量最大值组成的区间[b，a]等分后，若是按经典集合将水平井按产量进行分类，则产量在每一个等分区间的水平井即为一种分类；若是按模糊集合将水平井按产量进行分类，则在区间等分后需向左右两边扩大等分区间，式(1)为扩大等分区间的公式。
$${U_j} \in \left[b{\rm{ + }}\frac{{a - b}}{n}\left(j - 1 - \frac{1}{e}\right),\;b + \frac{{a - b}}{n}\left(j + \frac{1}{e}\right)\right]$$ (1) 式中，a为产量最大值；b为产量最小值；n为区间[a，b]的等分个数；j为等分区间的序号，j取1，2，3，···；e为常数。
Uj为每个水平井分类的产量范围，即每一个模糊集合Uj为一种水平井分类的产量范围。分析了55口井峰值平均日产量的频率分布，其结果为：峰值平均日产量2~9、9~15、22~25 t/d的水平井数分别为25、20、10，峰值平均日产量越高，井数越少，在不同的产量范围内常数e取不同的值，可保证水平井数较少的等分区间扩大的范围较大，即尽量确保每一等分区间为一种水平井的分类，若有某个分类的水平井数为0，则剔除该分类。
根据式(1)，对鄂尔多斯盆地的55口致密油水平井进行了模糊分类，求取每种水平井分类的平均产量和分析参数的平均值，以把水平井分为3类为例：产量介于1.98~10.52 t/d的水平井为低产井，产量介于6.41~17.48 t/d的水平井为一般井，产量介于12.61~21.91 t/d的水平井为高产井，该3类井中的每种水平井分类的平均孔隙度和平均水平段长度所对应的该分类的峰值平均日产量如图3所示。水平井的真实井数为55口，而用模糊集合分类后由于有一部分水平井的分类是重叠的，故总井数增至81口，故得到将水平井按产量分为3、4和5类的示意图。
图 3 水平井分类示意图
Figure 3. Sketch of horizontal well classification
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对鄂尔多斯盆地的55口致密油体积压裂水平井进行分析，图4是水平段长度、段数与峰值平均日产量的散点关系图，其散点的分布具有杂、乱等特点，根据此散点图难以确定数据的变化趋势和规律，而当把水平井基于模糊集合进行分类后，发现产量和地质与压裂施工参数显现很好的规律[27]。
图 4 水平段长度、段数与峰值平均日产量散点关系
Figure 4. Relationship between the length and amount of horizontal section and the peak average daily production
当增加水平井分类个数时，所分析数据的趋势就会得以显现，把55口水平井分为32类，并进行分析：由图5(a)知，随着水平段长度的增加，产量基本呈线性增加；由图5(b)知，当段数较小时，段数增加时产量增幅较大，当段数大于12后，段数的增加对产量增加的影响变小；由图5(c)知，当总砂量较小时，总砂量的增加对产量的增加影响显著，当总砂量大于1 000 m3后，总砂量的增加对产量增加的影响变小；由图5(d)知，总液量较小时，总液量的增加对峰值日产量的增加影响显著，当总液量大于10 000 m3后，总液量的增加对产量增加的影响变小。
图 5 评价指标与峰值平均日产量关系
Figure 5. Relationship between the evaluation index and the peak average daily production
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在参数与峰值平均日产量关系图中，为了求出直线段斜率以对比每个参数对产量的影响程度，用标准化的参数来代替所分析参数的相对大小(图6(a))。需标准化分析参数,见式(2)，N为某个分析参数，如水平段长度；Nmin为某个分析参数的最小值，如水平段长度最小值；Nmax为某个分析参数的最大值，如水平段长度最大值；Nnor为标准化后的参数，如标准化的水平段长度
图 6 斜率求取流程图
Figure 6. Slope calculation process
$${N_{{\rm{nor}}}}{\rm{ = }}\frac{{N - {N_{\min }}}}{{{N_{\max }} - {N_{\min }}}}$$ (2) 所求的斜率越大则表明该参数对峰值平均日产量影响越大。其中斜率的求取原则如下：选取一个近似最大直线段的直线进行斜率的求取，最大可能地体现出数据的变化趋势；保证该最大直线段有足够多的数据，然后用线性回归求其斜率的值，得到图6(b)。
本文分析了油层平均厚度、孔隙度、渗透率、含水饱和度、水平段长度、段数、簇数、单段平均砂量(总砂量/段数)、单段平均液量(总液量/段数)、总排量10个参数对峰值平均日产量的影响。设对产量影响最大的参数的影响程度为100，其他参数的影响程度为该参数的斜率与对产量影响最大参数的斜率的比值。由峰值平均日产量影响因素暴风图知油层平均厚度对峰值平均日产量影响最大，单段平均砂量和单段平均液量影响次之(图7)。
图 7 峰值平均日产量影响因素暴风图
Figure 7. Storm chart of the influence factor of peak average daily production
求取斜率后发现油层平均厚度对峰值平均日产量影响最大，故对鄂尔多斯盆地西233井区具有不同油层厚度的水平井进行了分析，W3井等13口水平井的水平段长度均为800 m、井距均为500 m。分析了总砂量、总液量对生产井4年累积产量的影响。
如图8所示对于油层厚度大于12 m的水平井而言，随着总砂量、总液量的增加，4年累产量总体上也越高。而对于油层厚度8 ~12 m的水平井来讲，当总砂量、总液量较小时，总砂量、总液量的增加对提高4年累产量影响很显著，但是并非总砂量、总液量越大越好，当总砂量、总液量达到某一值时，总砂量、总液量的增加对提高4年累产量影响降低，其结果与基于模糊集合的压裂效果评价结果一致，为上述压裂效果评价的可靠性提供了支撑。
图 8 分析参数与4年累产的关系
Figure 8. Relationship between analysis parameters and 4 years’ cumulative production
图8表明，油层厚度越厚的水平井4年累积产量越高，并且综合上述分析得出增大砂量和液量要有足够的油层厚度基础。
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根据图7得出峰值平均日产量的主控因素，结合油层平均厚度、单段平均砂量、单段平均液量、段数、总排量、水平段长度和簇数7个参数建立多元线性回归模型，得到多元线性回归表达式(3)，由此式预测了W4井等10口水平井的峰值平均日产量
$$ \begin{split} y = & - 9.1807 + 0.1257{e^{0.2{x_1}}} + 0.2956x_2^{0.8} + 0.2118{x_3} + \\ & 0.0591{x_4} + 0.0817{e^{0.02{x_5}}} + 0.0031{e^{0.003{x_6}}} + 0.0412x_7^{1.2} \end{split} $$ (3) 式中，y为峰值平均日产量，t/d；x1为油层平均厚度，m；x2为水平段长度，m；x3为段数；x4为簇数；x5为单段平均砂量，m3；x6为单段平均液量，m3；x7为总排量，m3/min。
由表1知预测产量与实际产量相比平均相对误差为7.6%，表明该多元线性回归模型可快速准确预测产量。
表 1 多元线性回归模型预测产量的误差
Table 1. Error of the production predicted in the multiple linear regression model
序号 井号 实际峰值平均
日产量/(t · d−1)预测峰值平均
日产量/(t · d−1)相对误差 1 W4 11.37 11.91 0.05 2 W5 10.62 11.32 0.07 3 W6 12.37 10.58 0.14 4 W7 10.73 10.28 0.04 5 W8 12.09 11.36 0.06 6 W9 12.39 13.39 0.08 7 W10 8.24 8.89 0.08 8 W11 12.06 12.13 0.01 9 W12 10.14 10.58 0.04 10 W13 17.23 13.96 0.19 -
(1)通过模糊集合建立了根据产量将水平井分类的方法，能够快速、简单和准确地使得散、乱、杂的实际数据呈现出有规律的趋势。研究发现随着水平段长度的增加，峰值平均日产量基本呈线性增加；当段数较小时，段数增加时产量增幅较显著，当段数大于12时，段数增加对产量增加的影响变小。
(2)参数与峰值平均日产量关系曲线的斜率可反映该参数对产量的影响程度，在将分析参数标准化后利用线性回归求得斜率，发现油层平均厚度对峰值平均日产量影响最大，单段平均砂量、单段平均液量对峰值平均日产量的影响次之。
(3)通过对鄂尔多斯盆地水平段长度相同、井距相同的13口水平井进行分析，表明总砂量、总液量越大，4年累产总体上呈增加趋势，但是总砂量、总液量并不是越大越好，其结果与基于模糊集合的压裂效果评价的结果一致，为基于模糊集合压裂效果评价提供了有效的论证；增大砂量、液量需有一定的油层厚度，所以在设计压裂方案时要保证施工参数与油层厚度有足够的适配性。
(4)根据峰值平均日产量的7个主控因素建立了多元线性回归模型，对W4井等10口水平井进行了产量预测，预测产量的平均相对误差仅为7.6%，表明利用模糊集合判断出的产量主控因素符合实际，故该多元线性回归模型可以准确快速地进行峰值平均日产量的预测。
Production prediction method of volume fracturing horizontal wells based on fuzzy set theory
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摘要: 传统的统计分析方法存在散点乱、数据量大、难以分析总结出规律等问题，无法准确判定致密油水平井体积压裂主控因素。提出了一套的基于模糊集合理论水平井体积压裂效果评价方法：首先根据模糊集合理论建立了水平井产量分类方法，以鄂尔多斯盆地55口致密油水平井为例，根据产量对55口水平井进行分类；其次，通过分类数据的归一化处理得到每个因素变化区间的斜率，并据此绘制产量影响因素暴风图；最后，结合各影响因素的权重，通过多元回归方法建立了考虑多因素的水平井体积压裂产量预测模型。研究结果表明，该方法能够清晰准确地反映出各因素对体积压裂水平井开发效果的影响，并给出不同因素对体积压裂水平井产量影响程度。结合油田生产实例进行了分析，预测产量的平均相对误差仅为7.6%，为油田现场的压裂方案优化和产量预测提供了理论依据。Abstract: Traditional statistical analysis method is chaotic in scatters and huge in data bulk and can hardly analyze and summarize the laws, so it fails to accurately determine the main factors controlling the stimulated reservoir volume (SRV) of tight oil by horizontal well. A method for evaluating the effect of horizontal well SRV was proposed on the basis of fuzzy set theory. Firstly, a horizontal-well production classification method was developed according to the fuzzy set theory, and 55 tight-oil horizontal wells in the Ordos basin were classified based on the production. Then, the slope of the change interval of each factor was obtained by normalizing the classified data, and accordingly the storm chart of production influence factor was plotted. Finally, based on the weight of each influence factor, the production prediction model of horizontal well SRV including multiple factors was established by means of multiple regression method. It is indicated that this new method can reflect the effect of each factor on the development result of horizontal well SRV clearly and accurately, and provide the influential degree of each factor on the production of horizontal well SRV. What’s more, analysis was conducted on the actual case of oilfield production, and the average relative error of predicted production is only 7.6%. The research results provide the theoretical basis for the optimization of fracturing scheme and the prediction of production in the field.
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Key words:
- tight oil /
- volume fracturing /
- main control factor /
- fuzzy set /
- multiple linear regression /
- production prediction
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图 4 水平段长度、段数与峰值平均日产量散点关系
Figure 4. Relationship between the length and amount of horizontal section and the peak average daily production
图 5 评价指标与峰值平均日产量关系
Figure 5. Relationship between the evaluation index and the peak average daily production
图 7 峰值平均日产量影响因素暴风图
Figure 7. Storm chart of the influence factor of peak average daily production
图 8 分析参数与4年累产的关系
Figure 8. Relationship between analysis parameters and 4 years’ cumulative production
表 1 多元线性回归模型预测产量的误差
Table 1. Error of the production predicted in the multiple linear regression model
序号 井号 实际峰值平均
日产量/(t · d−1)预测峰值平均
日产量/(t · d−1)相对误差 1 W4 11.37 11.91 0.05 2 W5 10.62 11.32 0.07 3 W6 12.37 10.58 0.14 4 W7 10.73 10.28 0.04 5 W8 12.09 11.36 0.06 6 W9 12.39 13.39 0.08 7 W10 8.24 8.89 0.08 8 W11 12.06 12.13 0.01 9 W12 10.14 10.58 0.04 10 W13 17.23 13.96 0.19 
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