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多级压裂水平井是国内外油气田开发过程中用于增产的一项关键技术，准确地评价和预测多级压裂井的产能对实际生产过程具有十分重要的意义。裂缝导流能力是影响压裂水平井产能和增产效果的关键参数，以往的产能模型总是假设裂缝导流能力为一定值，而室内实验和矿场实践表明，在实际生产过程中，裂缝导流能力随时间不断变化。对于裂缝导流能力随时间的变化，国内外学者进行了大量研究。俞绍诚等(1987)在陶粒支撑剂和兰州压裂砂长期裂缝导流能力实验的基础上，给出了长期裂缝导流能力与时间的经验关系式[1]。蒋廷学等(2004)开发了高温条件下考虑压裂液伤害的长时(8 h)导流能力测试技术，并结合前人关于长期导流能力的测试结果，由短期导流能力推导了长期导流能力的变化公式[2]。温庆志等(2007)在研究20/40目陶粒支撑剂嵌入对裂缝长期导流能力的影响时，得到一定闭合压力下导流能力与时间的关系表达式[3-5]。Gringarten等(1973)、Ozkan等(1991)分别用实空间和拉氏空间的源函数求解油藏渗流问题，并给出了用源函数方法求解渗流方程的方法和一定条件下油藏渗流问题源函数解库[6-7]。廉培庆等利用纽曼乘积、源函数的方法，求解了耦合油藏、裂缝、水平井流动的产能计算模型，将裂缝内流体流动处理为裂缝内一点到井筒的平面径向流，不符合裂缝的实际流动情况[8]。有关裂缝导流能力分布及其随时间的变化对产能的影响，学者也做了大量的研究。刘宇、熊健、姚珊珊等考虑裂缝导流能力随位置的变化对压裂井的压力和产能变化进行了计算，分析了不同导流能力分布方式下的压裂井和裂缝内压力变化规律，但都没有考虑裂缝导流能力随时间的变化[9-16]。焦春艳等(2011)建立了考虑人工裂缝导流能力随时间变化的垂直压裂井不稳定压后渗流模型，分析了导流能力变化对压后生产动态的影响并作了敏感性分析，但在模型求解的时候运用了有限差分的方法，存在着运算速度慢、需要对油藏进行网格划分、收敛性差等问题[17]。谢丽沙等(2013、2016)利用半解析的方法，在无限大地层压降公式的基础上，运用复势叠加原理，考虑了裂缝导流能力时变性的影响，建立了压裂井的产能模型，分析了导流能力时变性对压裂水平井产能和流场的影响，但是该模型将裂缝进行分段，每一段看成是一个点汇，将裂缝内的流动处理成端部到井底的平面径向流，并没有对压裂井裂缝内的流动进行详细的研究[18-19]。贾品等(2016)将裂缝内部的流动考虑为沿裂缝方向的一维线性流，流动方程用有限差分的方法处理，用拉氏空间点源函数求解油藏渗流，将两者进行耦合，建立了各种复杂裂缝条件下的压裂井的压力分析和产能计算模型，但是并没有考虑裂缝导流能力的时变性[20]。笔者在前人研究成果的基础上，利用封闭边界板源函数，结合纽曼乘积、叠加原理得到油藏渗流解析解，利用有限差分方法求解导流能力随时间变化的裂缝渗流模型，通过裂缝交界面的流量和压力相等，将油藏渗流解析解和裂缝渗流的数值解进行耦合求解，得到了考虑裂缝长期导流能力的多级压裂水平井产能半解析模型，并分析了导流能力变化对产能的影响，本文的研究成果对生产实践具有一定的指导意义。
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模型假设：
(1)有一均质各向异性箱状油藏，6个外边界封闭；
(2)油藏流体是单相微可压缩的；
(3)在t=0时刻，整个油藏压力处处相等，为初始油藏压力；
(4)油藏中存在一口多级压裂水平井，在水平段进行了压裂，压出n条垂直于水平井的裂缝，裂缝穿过整个油层厚度；
(5)在水平段没有进行补孔，流体将先从地层流入裂缝，然后沿裂缝流入井筒；
(6)裂缝为有限导流裂缝，且导流能力随时间变化，裂缝内部为垂直井筒的一维达西流，裂缝向井筒的流动为平面径向流。
多级压裂水平井示意图如图1所示。
图 1 多级压裂水平井示意图
Figure 1. Sketch of multi-stage fractured horizontal well
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对于均质各向异性的油藏，其扩散方程为
$${\eta _x}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} + {\eta _y}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {y^2}}} + {\eta _{\textit{z}}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {{\textit{z}}^2}}} = \frac{{\partial p}}{{\partial t}}$$ (1) 其中
$${{\eta }_{x}}=\frac{{{k}_{x}}}{\phi \mu {{C}_{\rm{t}}}},{{\eta }_{y}}=\frac{{{k}_{y}}}{\phi \mu {{C}_{\rm{t}}}},{{\eta }_{\textit{z}}}=\frac{{{k}_{\textit{z}}}}{\phi \mu {{C}_{\rm{t}}}}$$ (2) 式中，
${\eta _x}$ 、${\eta _y}$ 、${\eta _{\textit{z}}}$ 分别为x、y、z方向的传导率，m2/s。初始条件
$$p\left( {x,y,{\textit{z}},0} \right) = {p_{\rm{ini}}}$$ (3) 边界条件
$$\left\{ {\begin{split} {{{\left. {\dfrac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right|}_{x = 0}} = {{\left. {\dfrac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right|}_{x = a}} = 0} \\ {{{\left. {\dfrac{{\partial p}}{{\partial y}}} \right|}_{y = 0}} = {{\left. {\dfrac{{\partial p}}{{\partial y}}} \right|}_{y = b}} = 0} \\ {{{\left. {\dfrac{{\partial p}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right|}_{{\textit{z}} = 0}} = {{\left. {\dfrac{{\partial p}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right|}_{{\textit{z}} = h}} = 0} \end{split}} \right.$$ (4) 内边界条件
$${\left. {r\frac{{\partial p}}{{\partial r}}} \right|_{r \to 0}} = \frac{{q\mu }}{{2{\text{π}} h\sqrt {{k_x}{k_y}} }}$$ (5) 式中，
${k_x}$ 、${k_y}$ 、${k_{\textit{z}}}$ 分别为x、y、z方向储层渗透率，m2；$\phi $ 为储层的孔隙度；$\mu $ 为流体的黏度，Pa · s；${C_{\rm{t}}}$ 为储层的压缩系数，Pa−1；${p_{\rm{ini}}}$ 为初始油藏压力，Pa。可利用源函数方法求解上述方程，根据Grington、廉培庆等[6-8]的结论可知，体积为
${x_{\rm{f}}} \times {y_{\rm{d}}} \times h$ 的裂缝可以看成是x、y、z方向的尺寸分别为xf、yd、h的封闭边界板源的叠加，满足Newman乘积定律，则位于$({x_0},{y_0},{{\textit{z}}_0})$ 单位强度源在$(x,y,{\textit{z}})$ 产生的压降$A\left( t \right)$ 可以用下式计算$$ {A\left( t \right) = {p_{{\rm{ini}}}} - p\left( {x,y,{\textit{z}},t} \right) = \frac{1}{{\phi {C_{\rm{t}}}}}\int\limits_0^t { {{S_1}{S_2}{S_3}} } {\rm{d}}\tau } $$ (6) $$\begin{aligned} {\text{其中}} \qquad & {S_1}\left( {x,{x_0},\tau } \right) = \frac{{{x_{\rm{f}}}}}{a}\left[ {1 + \frac{{4a}}{{{\text{π}} {x_{\rm{f}}}}}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{1}{m}\exp \left( { - \frac{{{m^2}{{\text{π}} ^2}{k_x}\tau }}{{\alpha {a^2}}}} \right)} \sin \frac{{m{\text{π}} {x_{\rm{f}}}}}{{2a}}\cos \frac{{m{\text{π}} {x_0}}}{a}\cos \frac{{m{\text{π}} x}}{a}} \right] \\ & {S_2}\left( {y,{y_0},\tau } \right) = \frac{{{y_{\rm{d}}}}}{b}\left[ {1 + \frac{{4b}}{{{\text{π}} {y_{\rm{d}}}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}\exp \left( { - \frac{{{n^2}{{\text{π}} ^2}{k_y}\tau }}{{\alpha {b^2}}}} \right)} \sin \frac{{n{\text{π}} {y_{\rm{d}}}}}{{2b}}\cos \frac{{n{\text{π}} {y_0}}}{b}\cos \frac{{n{\text{π}} y}}{b}} \right] \\ & {S_3}\left( {{\textit{z}},{{\textit{z}}_0},\tau } \right) = 1 + \frac{4}{{\text{π}} }\sum\limits_{g = 1}^\infty {\frac{1}{g}\exp \left( { - \frac{{{g^2}{{\text{π}} ^2}{k_{\textit{z}}}\tau }}{{\alpha {h^2}}}} \right)} \sin \frac{{{{g}}{\text{π}} }}{2}\cos \frac{{g{\text{π}} {{\textit{z}}_0}}}{h}\cos \frac{{g{\text{π}} {\textit{z}}}}{h} \end{aligned}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$ 式中，
$\alpha = \phi \mu {C_t}$ ；S1、S2、S3分别表示点$\left( {{x_0},{y_0},{{\textit{z}}_0}} \right)$ 处的3个方向的Green函数；a、b、h分别为油藏的长度、宽度和厚度，m。 -
由于裂缝的高度和宽度相对裂缝的长度来说较小，裂缝内的渗流可以看成裂缝长度方向的一维达西流动，不考虑裂缝导流能力在空间分布上的差异性，即认为裂缝内部导流能力处处相等[21-22]。
考虑油藏向裂缝流入的裂缝内的一维扩散方程[20]
$$\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} + \frac{\mu }{{{k_{\rm{F}}}(t)}} \times \frac{{{q_{\rm{F}} }(x,t)}}{{{y_{\rm{d}}}h}} = \frac{{\varphi \mu {C_{{\rm{F}} t}}}}{{{k_{\rm{F}}}(t)}}\frac{{\partial p}}{{\partial t}}$$ (7) 式中，
$\varphi $ 为人工裂缝的孔隙度；${C_{{\rm{F}} t}}$ 为人工裂缝的压缩系数，Pa−1；${k_{\rm{F}}}(t)$ 表示t时刻人工裂缝的渗透率，m2；${y_{\rm{d}} }$ 为人工裂缝的宽度，m；${q_{\rm{F}}}(x,t)$ 为t时刻油藏流体流向裂缝的单位长度上的线流量，m2/s。Cinco等指出人工裂缝的压缩性可以忽略，因为裂缝的体积很小，裂缝内的流动可以认为是不可压缩的[21-22]。在这种假设下，上述公式可以简化为
$$\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} + \frac{\mu }{{{k_{\rm{F}}}(t)}} \times \frac{{{q_{\rm{F}} }(x,t)}}{{{y_{\rm{d}}}h}} = 0$$ (8) 利用中心差分方法，对裂缝内的一维达西流采用点中心网格进行离散(图2)，得到方程(8)的全隐式差分格式为
图 2 裂缝内部的线性流
Figure 2. Linear flow inside the fracture
$$\left( {\frac{{p_{i + 1}^n - p_i^n}}{{\Delta {x_{i + \frac{1}{2}}}}} - \frac{{p_i^n - p_{i - 1}^n}}{{\Delta {x_{i - \frac{1}{2}}}}}} \right) + \frac{\mu }{{{{({k_{\rm{F}}}{y_{\rm{d}}})}^n}}}\frac{{q_{{\rm{F}}i}^n}}{h} = 0$$ (9) 对直角坐标系里的等距网格有
$$\left\{ \begin{split} & {\Delta {x_{i + \frac{1}{2}}} = \Delta {x_{i - \frac{1}{2}}} = \Delta x} \\ & p_{i + 1}^n - 2p_i^n + p_{i - 1}^n + \frac{{\mu \Delta x}}{{{{({k_{\rm{F}}}{y_{\rm{d}}})}^n}}}\frac{{q_{{\rm{F}}i}^n}}{h} = 0 \\ \end{split}\right.$$ (10) 式中，
$p_{i}^n$ 为$n$ 时刻裂缝网格$i$ 的压力，Pa；${({k_{\rm{F}}}{y_{\rm{d}}})^n}$ 为n时刻裂缝的裂缝导流能力，m2 · m；${q_{{\rm{F}}i}^n}$ 为$n$ 时刻流进网格$i$ 的流体的体积流速，m3/s；$\Delta {x_{i + \frac{1}{2}}}$ 为第$i$ 个网格的中心到$i + 1$ 个网格中心之间的距离，m；$\Delta {x_{i - \frac{1}{2}}}$ 为第$i$ 个网格的中心到$i - 1$ 个网格中心之间的距离，m；$\Delta x$ 为网格步长，m。根据温庆志等的研究[5]，随时间变化的裂缝导流能力计算模型为
$${{\left( {{k}_{{\rm{F}}}}{{y}_{{\rm{d}}}} \right)}^{n}} = {{k}_{\rm{F0}}}{{y}_{\rm{d0}}}\left[ 1-\beta \lg\left( n/86400\text{+1} \right) \right]$$ (11) 式中，
$\beta $ 为裂缝导流能力变异系数，无因次，取值一般为0.2~0.3；${k_{{\rm{F0}}}}{y_{d0}}$ 为初始裂缝导流能力，m2 · m。将公式(11)代入到公式(10)将得到考虑考虑裂缝长期导流能力的裂缝流动模型的离散形式
$$p_{i + 1}^n - 2p_i^n + p_{i - 1}^n + \frac{{\mu \Delta x}}{{{k_{{\rm{F0}}}}{y_{{\rm{d0}}}}[1{\rm{ - }}\beta \lg (n/86400{\rm{ + 1}})]}}\frac{{q_{{\rm{F}}i}^n}}{h} = 0$$ (12) -
假设油藏和裂缝交界面处的油藏节点压力
${p_1},{p_2}, \cdots , {p_N}$ ，裂缝的节点压力${p_{{\rm{F1}}}},{p_{{\rm{F2}}}}, \cdots ,{p_{{\rm{F}}N}}$ ，从油藏节点到裂缝节点的流量${q_{{\rm{F1}}}},{q_{{\rm{F2}}}}, \cdots ,{q_{{\rm{F}}N}}$ 。由于在交界面处的压力和流量的连续性，油藏节点压力和裂缝节点压力相等，${p_i} = {p_{{\rm{F}}i}}$ 。式(6)给出了单个裂缝块对油藏中任意点压力降的大小，在多个裂缝同时生产时(如图3)，使用空间叠加原理，点
$\left( {{x_i},{y_i},{{\textit{z}}_i}} \right)$ 处的压力降可以表示为
图 3 油藏与裂缝流动耦合模型
Figure 3. Coupling model of flow in oil reservoir and fracture
$$\Delta {{p}_{i}}={{p}_{\rm{ini}}}-\sum\limits_{j=1}^{n}{{{p}_{i}}(( {{x}_{i}},{{y}_{i}},{{\textit{z}}_{i}} ), ( {{x}_{j}},{{y}_{j}},{{\textit{z}}_{j}} ),t)}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{q}_{\rm{F}j}}{{A}_{ij}}(t)}$$ (13) 式中，
${p_i}(t)$ 为$t$ 时刻裂缝网格$i$ 的压力，Pa；${p_i}(({x_i},{y_i},{{\textit{z}}_i}),$ $({x_j},{y_j},{{\textit{z}}_j}),t) $ 为受第$j$ 个裂缝网格影响时$t$ 时刻裂缝网格$i$ 的压力，Pa；${A_{ij}}(t)$ 为$t$ 时刻第$j$ 个裂缝网格以单位产量生产时在裂缝网格$i$ 处产生的压降，Pa；$({x_i},{y_i},{{\textit{z}}_i})$ ，$({x_j},{y_j},{{\textit{z}}_j})$ 分别为第$i$ 、$j$ 个裂缝网格的中心坐标；${q_{{\rm{F}} j}}$ 为第$j$ 条裂缝的流量，m3/s。对变质量流，应用Duhamel原理，可得到地层中任意处的压力降为
$$ \Delta {p_i} = \int_0^t {\sum\limits_{j = 1}^N {{q_{{\rm{F}}j}}\left( \tau \right)\left[ { - \frac{{{\rm{d}}{A_{ij}}\left( {t - \tau } \right)}}{{{\rm{d}}\tau }}} \right]} } {\rm{d}}\tau \;\;\;\; (i = 1,2, \cdots , N) $$ (14) 式中，N为裂缝块的总数，选取适当的时间步长
$\Delta t$ ，结合式(13)并把式(14)写成关于时间步的数值积分形式[8]，对每一个裂缝块$i$ 应有$$ \begin{split} & \sum\limits_{j = 1}^N {q_{{\rm{F}}j}^k{A_{ij}}\left( {\Delta t} \right) + {p_i}\left( {{t^k}} \right)} {\rm{ = }} {p_{{\rm{ini}}}} -\\ & \sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {\sum\limits_{j = 1}^N {{q_{{\rm{F}}j}}\left( {{t^m}} \right)\left[ {{A_{ij}}\left( {\left( {k - m + 1} \right)\Delta t} \right) - {A_{ij}}\left( {\left( {k - m} \right)\Delta t} \right)} \right]} } \\ & (i = 1,2, \cdots, N; \; k = 1,2,3, \cdots ,n ) \end{split} $$ (15) $$\begin{aligned} {\text{其中}} \quad\quad\quad & {A_{ij}}\left( 0 \right) = 0,\;{A_{ij}}\left( {{t^k} - {t^{k - 1}}} \right) = {A_{ij}}\left( {\Delta t} \right)\\ & \Delta {p_i} = {p_{{\rm{ini}}}} - {p_i}\left( {{t^k}} \right),\;{t^k} = k \times \Delta t \end{aligned}\qquad\qquad\qquad$$ -
式(10)和式(12)给出了裂缝内部线性流的表达式，而裂缝到水平井筒的流动可以看成是半径为h/2的平面径向流[11-12](图4)。
图 4 裂缝流向井筒平面径向流
Figure 4. Radial fluid flow from the fracture to the well
考虑可能产生的表皮因数，其定产条件为[20]
$$\frac{2{\text{π}} {{\left( {{k}_{\rm{F}}}{{y}_{\rm{d}}} \right)}^{n}}({{p}_{N{\rm{w}}}}-{{p}_{\rm{wf}}})}{\mu \ln \left[ h/\left( 2{{r}_{\rm{w}}} \right)+S \right]}={{q}_{N{\rm{w}}}}$$ (16) 式(16)可以用于计算单个与井筒相连的裂缝网格流入井筒的流量，对多级压裂水平，其总流量为各个裂缝流入井筒的流量之和，可表示为
$$\sum\limits_{{N_{\rm{w}}}}^{} {\frac{{2{\text{π}} {{({k_{\rm{F}}}{y_{\rm{d}}})}^n}({p_{N{\rm{w}}}} - {p_{\rm{wf}}})}}{{\mu \ln [h/(2{r_{\rm{w}} }) + S]}}} = q$$ (17) 式中，
${N_{\rm{w}} }$ 为与井筒相连的裂缝网格的编号；${p_{N{\rm{w} }}}$ 为与井筒相连的裂缝块的网格压力，Pa；${q_{N{\rm{w} }}}$ 为网格节点${N_{\rm{w}}}$ 流向井筒的流量，m3/s；$q$ 为裂缝井的总流量，m3/s；${p_{\rm{wf}}}$ 为井底流压，Pa；S为表皮因数。本文假设水平井筒为无限导流，因此可认为井底流压处处相同。在前述油藏渗流模型、裂缝渗流模型以及定解条件离散的基础上，先根据压裂水平井基本参数，将裂缝网格划分(图2)，将裂缝块从一个端部向另一个端部依次编号，并将多条裂缝的编号进行叠加，如图3所示。假设网格总数为N，对每一个裂缝块利用油藏内的压力响应公式(15)和全隐式块中心差分公式(12)分别建立方程，可以得到关于
${q_{\rm{F1}}},{q_{\rm{F2}}}, \cdots ,{{q}_{{\rm{F}}N}}$ ，${p_{{\rm{F1}}}},{\rm{p}} _{{\rm{F2}}}, \cdots, {{p}_{{\rm{F}}N}}$ 的$2N$ 个方程，再结合定产公式(17)，便得到关于$2N{\rm{ + }}1$ 个未知变量：${{q}_{\rm{F1}}},{{q}_{\rm{F2}}},\cdots, {{q}_{{\rm{F}}N}}$ ，${p_{\rm{F1}}},{p_{\rm{F2} }}, \cdots ,$ ${{p}_{{\rm{F}}N}} $ ，$q$ 的$2N{\rm{ + }}1$ 个方程组成的封闭方程组，可以采用Gauss全主元消去法快速求解该方程组。以一条裂缝，每个半长被分成4段来说明耦合方程组具体的形式，网格从裂缝一端到另一端依次编号，共8个网格，其中与井相连的网格为第4、第5个网格，如图2所示。
假设总方程为
$${{AX}} = {{B}}$$ $$ {\text{其中}} \;\; {{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M}}&I&{{R_1}} \\ {I\dfrac{{\mu \Delta x}}{{{{({k_{\rm{F}} }{{\rm{y}}_{\rm{d}}})}^n}h}}}&P&{{R_2}} \\ 0&{{R_3}}&{ - \dfrac{{\mu \ln [h/(2{r_{\rm{w}} })]}}{{2{\text{π}} {{({k_{\rm{F}} }{{\rm{y}}_{\rm{d}}})}^n}}}} \end{array}} \right] \\ \qquad\qquad\quad$$ $$\begin{split} & {{X}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_{{\rm{F}}1}}} \!&\! {{q_{{\rm{F}}2}}} \!&\! \cdots \!&\! {{q_{{\rm{F}}8}}} \!&\! {{p_{{\rm{F}}1}}} \!&\! {{p_{{\rm{F}}2}}} \!&\! \cdots \!&\! {{p_{{\rm{F}}8}}} \!&\! q \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \\ & {{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {p_1}} & {\Delta {p_2}} & \cdots & {\Delta {p_8}} \end{array}}_8,} & 0 & 0 & 0 \end{array}} \right.\\ & \quad \; \begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{2{\text{π}} \Delta x{p_{{\rm{wf}}}}}}{{h\ln \left( {\dfrac{h}{{2{r_{\rm{w}}}}} + S} \right)}}} & {\dfrac{{2{\text{π}} \Delta x{p_{{\rm{wf}}}}}}{{h\ln \left( {\dfrac{h}{{2{r_{\rm{w}}}}} + S} \right)}}} \end{array}\\ & \quad \; {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & {0,} & {\displaystyle \sum\limits_{{N_{\rm{w}}}} {\frac{{\mu \ln [h/\left( {2{r_{\rm{w}}}} \right) + S]}}{{2{\text{π}} {{({k_{\rm{F}}}{y_{\rm{d}}})}^n}{p_{{\rm{wf}}}}}}} } \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{split}$$ ${{M}}$ 代表前N个方程组成的未知量${q_{\rm{F} 1}},{q_{\rm{F} 2}}, \cdots, {q_{{\rm{F}}8}}$ 对应的系数矩阵，根据公式(15)可得到$${{M}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}(\Delta t)}&{{A_{12}}(\Delta t)}& \cdots &{{A_{1N}}(\Delta t)} \\ {{A_{21}}(\Delta t)}&{{A_{22}}(\Delta t)}& \cdots &{{A_{2N}}(\Delta t)} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{A_{N1}}(\Delta t)}&{{A_{N2}}(\Delta t)}& \cdots &{{A_{NN}}(\Delta t)} \end{array}} \right]_{8 \times 8}}$$ 根据式(15)还可以得到未知量
${p_{{\rm{F}}1}},{p_{{\rm{F}}2}}, \cdots ,{p_{\rm{F} 8}}$ 对应的系数矩阵为单位对角矩阵I。$${{I}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &0 \\ 0&1& \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0&0& \cdots &1 \end{array}} \right]_{8 \times 8}}$$ 根据式(15)知，前N个方程中不含总流量
$q$ ，因此未知量$q$ 对应的系数矩阵为$${{{R}}_1} = {[\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&0&0&0&0 \end{array}]}^{\rm{T}}$$ 根据式(12)可以得到N+1到2N个方程组成的未知量
${q_{{\rm{F}}1}},{q_{{\rm{F}}2}}, \cdots, {q_{{\rm{F}}8}}$ 对应的矩阵为$I\dfrac{{\mu \Delta x}}{{{{({k_{\rm{F}} }{y_{\rm{d}}})}^n}h}}$ 。N+1到2N个方程组成的未知量${p_{\rm{F} 1}},{p_{\rm{F} 2}}, \cdots ,{p_{{\rm{F}}8}}$ 对应的矩阵P为$${{P}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&0&0&0&0&0&0 \\ 1&{ - 2}&1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&{ - 2}&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&{\dfrac{{ - 2{\text{π}} \Delta x}}{{h\ln \left(\dfrac{h}{{2{r_{\rm{w}}}}} + S\right)}} - 1}&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&{\dfrac{{ - 2{\text{π}} \Delta x}}{{h\ln \left(\dfrac{h}{{2{r_{\rm{w}} }}} + S\right)}} - 1}&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&{ - 2}&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1&{ - 2}&1 \\ 0&0&0&0&0&0&{ - 1}&1 \end{array}} \right]$$ 第N+1到2N个方程组成的未知量
$q$ 对应的系数矩阵为$${{{R}}_2} = {[\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&0&0&0&0 \end{array}]}^{\rm{T}}$$ 矩阵A的最后一行由定产条件(17)得到
$${{{R}}_3} = [\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&1&1&0&0&0 \end{array}]$$ 多条裂缝矩阵P的系数分布如图5所示。
图 5 4条裂缝矩阵P系数分布图示
Figure 5. Diagram corresponding to the matrix P of 4 fractures
矩阵B由各个方程的常数项组成。
$\Delta {p_i}$ 代表公式(15)的右端项，需要注意的是，第一个时间步时$\Delta {p_i} =$ 0，其余时间步n(n＞1)只需将前$n - 1$ 个时间步对应的裂缝块流量带入公式(15)右端就可以计算出$\Delta {p_i}$ 。多条裂缝对应的矩阵形式，只要先按照图3对裂缝进行离散编号(从一端到另一端，多条缝从左到右编号依次累加)，按照上述方法进行离散，很容易获得对应的方程以及对应位置的系数矩阵M、P、A、B，从而建立对应的方程组求解即可。
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为验证模型的准确性，利用文献［19］中的相关数据、实际数据和本文的模型计算结果进行对比，文献中的基础数据如表1所示。
表 1 A20基础参数
Table 1. A20 basic parameters
参数 数值 初始油藏压力/MPa 30 地层渗透率/(10−3 μm2) 30 储层厚度/m 13.3 原油黏度/(mPa · s) 1.25 原油体积系数 1.3 表皮因数 8.7 井筒半径/m 0.054 裂缝半长/m 95 初始生产压差/MPa 14 裂缝初始导流能力/(10−12 m2 · m) 1.250 导流能力变异系数 0.31 储层长度/m 3 000 储层宽度/m 3 000 从图6对比结果可以看出，本文模型的计算结果与实际数据以及文献模型的计算结果都较为吻合，从而说明了本文模型的准确性。本文的模型和文献［19］结果有一定的差别，这主要是因为本文和文献［19］对裂缝的处理方式不同，文献［19］简单将裂缝到井筒内的流动处理为端部到井筒的平面径向流，而本文在处理裂缝渗流的时候，参照文献［23］将其处理为线性流和近井地带的平面径向流，本文对裂缝流动的处理更符合实际情况，因此更接近实际生产数据。
图 6 模型结果和生产数据对比图
Figure 6. Comparison between model results and production data
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采用文献［19］中的油藏参数取值，对一口多级压裂水平井进行渗透率变异系数的敏感性分析，相关的取值见表2。
表 2 基本参数取值
Table 2. Value of basic parameters
参数 取值 水平井长度/m 1 500 裂缝半长/m 100 裂缝间距/m 300 裂缝条数 4 油藏渗透率/(10−3 μm2) 30 初始裂缝渗透率/(10−3 μm2) 12 500 裂缝初始宽度/m 0.01 油藏厚度/m 13.3 油藏压缩系数/MPa−1 1.5×10−5 原油黏度/(mPa · s) 1.25 分别对考虑裂缝导流能力随时间变化和裂缝为常导流能力时压裂井的产量进行计算，并考虑不同的渗透率变异系数取值，进行对比和分析。由图7可以看出当考虑导流能力随时间的变化时预测的产量要低，这是因为裂缝导流能力的降低，增加了流体在油层中的渗流阻力，在生产压差一定时，油藏的产量就会降低。说明了对压裂井来说裂缝导流能力的变化对产量的影响较大，在进行产能预测时应考虑裂缝导流能力随时间的变化，从而更准确地预测产能。从不同导流能力变异系数下产能的计算结果可以看出，导流能力变异系数的变化对产量的影响极为敏感，准确地确定导流能力随时间的变化规律是确定多级压裂水平井产量变化规律的前提。在实际生产应用中，根据文献［17］、［19］可以通过对裂缝长期导流能力实验数据进行回归分析来确定导流能力变异系数，从而更加准确地预测产能。
图 7 不同导流能力变异系数下的产能计算结果
Figure 7. Productivity calculated at different flow conductivity variation coefficients
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图8和图9为一口4级压裂水平井在常导流能力和考虑导流能力随时间变化时的计算结果。图8(a)、图9(a)表明，两种情况下，流体都是主要通过近井处的裂缝节点流入井筒，裂缝节点的流入剖面在近井处出现明显的“凸峰”，但是随着时间的增加，裂缝间的干扰变强，在定井底流压的情况下，凸峰的值逐渐减小。图8(b)和图9(b)表明两种情况下缝内压力都是从裂缝的顶端井筒处逐渐降低，并且在距离井筒较近处压力梯度明显高于距离井筒较远处，裂缝压力分布呈现明显压降漏斗特征。
图 8 常导流能力裂缝内流量和压力分布规律
Figure 8. Distribution law of flow rate and pressure inside the fracture with constant flow conductivity
图 9 变导流能力裂缝内流量和压力分布规律（β=0.3）
Figure 9. Distribution law of flow rate and pressure inside the fracture with variable flow conductivity (β=0.3)
图10是单条裂缝不同时刻考虑裂缝导流能力随时间变化和常导流能力时流量变化曲线。两种情况下，都是在近井带(−10~10 m)和裂缝顶端处(90~100 m，−90~−100 m)的流量要大于裂缝中间处(30~60 m、−30~−60 m)的流量分布，近井带产量高的原因是裂缝内存在压力损失，越靠近井筒附近，生产压差越大，使得裂缝产量越高。远端处裂缝的产量要高于中间处是因为其有着更大的泄油面积，且中间处裂缝节点受到的缝间干扰较强。
图 10 单条裂缝流量分布变化
Figure 10. Change of flow rate change in single fracture
通过进一步比较近井处（−10~10 m）流量占总流量的比例(图11)可以发现，定流压生产情况下，常导流能力时，近井带流量占总流量的比例随着生产时间延长而降低，而当考虑裂缝导流能力随时间的变化时近井带流量占总流量的比例却随生产时间延长而增加，并且二者数值上差别也较大，后者明显大于前者。这说明裂缝长期导流能力的损失导致更多的流体通过近井地带裂缝流入井底，裂缝内压降更多地发生在近井地带，这和文献［16-17］的结论具有较好的一致性。
图 11 近井带流量百分数变化规律
Figure 11. Change law of flow rate percentage near the wellbore
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(1)本文基于油藏渗流模型的解析解和裂缝渗流模型的离散数值解，考虑裂缝导流能力随时间变化这一重要影响因素，建立了多级压裂水平井的半解析产能计算模型，并通过和实际生产数据的对比验证了本文模型的正确性。
(2)裂缝导流能力时效性会降低压裂井的产量，裂缝导流能力变异系数的变化对产量的影响较为明显，裂缝导流能力时效性对产能的影响不可忽略，实际生产中应先通过裂缝长期导流能力实验数据来确定导流能力变异系数，在此基础上更加准确地预测产能。
(3)裂缝导流能力的降低会改变裂缝井附近渗流场分布，影响裂缝内的流量和压力的分布，使裂缝产量在井筒附近的峰值更加明显，会使流体更多地沿井筒附近的裂缝处流入井底。
Semi-analytical model of multi-stage fractured horizontal well productivity considering time-dependent fracture conductivity
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摘要: 目前多级压裂水平井产能计算模型研究较多，但大部分产能模型都没有考虑裂缝导流能力时效性对产能的影响。而室内实验和矿场实践表明，在实际生产过程中，裂缝导流能力随时间不断变化。本文利用源函数法求解油藏渗流模型，利用有限差分方法离散求解考虑裂缝导流能力随时间变化的裂缝渗流模型，并通过裂缝和油藏接触面处的流量和压力相等这一边界条件，将这两者进行了耦合，得到了考虑裂缝长期导流能力的多级压裂水平井产能半解析模型。模型计算结果表明，导流能力随时间的降低，在产能预测分析中是不可忽略的因素，这一因素会改变油藏的渗流场分布，改变裂缝内的流量和压力分布，会使更多的流体通过井筒附近的裂缝流入井内。本文建立的模型和计算结果对于储层产能预测研究和实际生产都有较大的指导意义。Abstract: At present, the models for calculating the productivity of multi-stage fractured horizontal well are researched more, but few productivity formulas consider the effect of the timeliness of fracture conductivity on the productivity. Laboratory experiments and field practice show that the fracture conductivity changes continuously over the time in the process of actual production. In this paper, the reservoir seepage model was solved by means of the source function method, and the reservoir seepage model considering the change of fracture conductivity over the time was solved discretely by means of the finite difference method. Then, both of them were coupled based on the boundary condition that the flow rate and pressure at the contact plane of fracture and oil reservoir are equal. In this way, the semi-analytical model of multi-stage fractured horizontal well productivity considering long-term fracture conductivity was established. The simulation calculation results show that the flow conductivity decreases over the time and it is a nonnegligible factor in the productivity prediction and analysis, for it can change the distribution of seepage field in oil reservoirs and the distribution of flow rate and pressure inside the fractures to make more fluid flow into the well through the fractures near the wellbore. This newly established model and the calculation results in this paper play an important role in guiding reservoir productivity prediction and actual production.
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图 7 不同导流能力变异系数下的产能计算结果
Figure 7. Productivity calculated at different flow conductivity variation coefficients
图 8 常导流能力裂缝内流量和压力分布规律
Figure 8. Distribution law of flow rate and pressure inside the fracture with constant flow conductivity
图 9 变导流能力裂缝内流量和压力分布规律（β=0.3）
Figure 9. Distribution law of flow rate and pressure inside the fracture with variable flow conductivity (β=0.3)
表 1 A20基础参数
Table 1. A20 basic parameters
参数 数值 初始油藏压力/MPa 30 地层渗透率/(10−3 μm2) 30 储层厚度/m 13.3 原油黏度/(mPa · s) 1.25 原油体积系数 1.3 表皮因数 8.7 井筒半径/m 0.054 裂缝半长/m 95 初始生产压差/MPa 14 裂缝初始导流能力/(10−12 m2 · m) 1.250 导流能力变异系数 0.31 储层长度/m 3 000 储层宽度/m 3 000 
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表 2 基本参数取值
Table 2. Value of basic parameters
参数 取值 水平井长度/m 1 500 裂缝半长/m 100 裂缝间距/m 300 裂缝条数 4 油藏渗透率/(10−3 μm2) 30 初始裂缝渗透率/(10−3 μm2) 12 500 裂缝初始宽度/m 0.01 油藏厚度/m 13.3 油藏压缩系数/MPa−1 1.5×10−5 原油黏度/(mPa · s) 1.25
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图(11) / 表 (2)
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