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水平井在国内外油田开发中得到广泛的应用，已逐渐成为一种重要的开发手段。水平井的产能是部署水平井决策的重要技术指标，国内外专家学者进行了大量研究：国外学者Joshi、Giger、Borisov从20世纪60年代开始通过室内实验、数值模拟及渗流理论等手段展开水平井产能研究，并分别提出被广泛应用的产能公式[1-4]。国内学者陈元千[5]、窦宏恩[6]、李璗[7]、李传亮等[8-9]人在国外研究的基础上，深入研究并不断改进与完善水平井产能公式。然而，目前常用的水平井产能预测公式只考虑了外部平面径向流和内部垂向径向流，矿场实际发现预测结果往往偏大。事实上，水平井的渗流机理相对直井较复杂，不仅包括外部平向径向流和内部垂直径向流，还包括中间平面线性流与椭圆流[10]，对中间平面线性流的忽视，也是已有方法预测结果偏大的重要原因。近年来，有学者考虑线性流建立了水平井产能预测公式：李传亮考虑垂向径向流和平面线性流推导了长水平井产能预测公式，在此基础上又考虑垂向径向流、平面线性流和平面径向流推导了综合形式的水平井产能预测公式；陈元千综合分析水平井开采断块油藏时的流动特征及水平井部署位置，考虑垂向径向流和平面线性流推导了断块油藏水平井产能预测公式。
在前人研究成果基础上，分析水平井的流场分布特征，综合考虑水平井最常见的主要流态，利用水电相似原理和等值渗流阻力方法，推导出了新的综合形式的水平井产能公式，能够更加准确地计算水平井产能。
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水平井主要渗流形态包括以下3种：分别为远离水平井区域(图3a)的外部平面径向流，靠近水平井的区域(图3b)的中间平面线性流与椭圆流，以及在井周围小范围的内部垂向径向流(图3c)，分别讨论每个区域渗流特征所对应的渗流阻力[11]。
图 3 水平井渗流区域划分
Figure 3. Schematic division of flow region in horizontal well
(1)对于外部平面径向流，渗流区域的外边界为水平井的泄油半径，则渗流阻力
${R_1}$ 为$${R_1} = \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{2{\text{π}} kh}}\ln\dfrac{{{r_{\rm{e}}}}}{{{r_1}}}$$ (1) 式中，R1为渗流助力，N；
${\mu _{\rm{o}}}$ 为地下原油黏度，mPa · s；k为储层渗透率，10−3 μm2；h为储层厚度，m；re为水平井的泄油半径，m；r1为内边界半径，m。(2)对于中间平面线性流与椭圆流，渗流区域为一箱形油藏体，借鉴Giger箱形油藏水平井产能公式推导过程，可得平面线性流与椭圆流的综合渗流阻力
${R_2}$ 为$${R_2} = \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{2{\text{π}} kh}}{\rm{cosh}}{^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{{\rm{cosh}}\dfrac{{{\text{π}} \left( {a - h/{\text{π}} } \right)}}{{2b}}}}{{{\sin}\dfrac{{{\text{π}} L}}{{2b}}}}} \right]$$ (2) 式中，R2为综合渗流阻力，N；
$a$ 为平面椭圆流区域长度，m；$b$ 为平面椭圆流区域宽度，m；L为水平井长度，m。Giger在推导箱形油藏水平井产能公式时，椭圆流部分的渗流阻力直接引用垂直裂缝井的椭圆流的渗流阻力。事实上，对于水平井而言，在近井小范围内存在一个以水平井筒为中心，半径为
$h/\left( {2{\text{π}} } \right)$ 的垂向径向流，应该将该部分代表的阻力剔除。(3)对于内部垂向径向流，外部边界半径为
$h/\left( {2{\text{π}} } \right)$ ，内部边界半径为${r_{\rm{w}}}$ ，可得渗流阻力${R_3}$ (单位为N)为$${R_3} = \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{2{\text{π}} kL}}{\rm{ln}}\dfrac{h}{{2{\text{π}} {r_{\rm{w}}}}}$$ (3) 水平井的总的渗流阻力R(单位为N)为
$$ \begin{split} R = & \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{2{\text{π}} kL}}{\rm{ln}}\dfrac{h}{{2{\text{π}} {r_{\rm{w}}}}}+ \\ & \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{2{\text{π}} kh}}{\rm{cosh}}{^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{{\rm{cosh}}\dfrac{{{\text{π}} \left( {a - h/{\text{π}} } \right)}}{{2b}}}}{{{\rm{sin}}\dfrac{{{\text{π}} L}}{{2b}}}}} \right] + \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{2{\text{π}} kh}}{\rm{ln}}\dfrac{{{r_{\rm{e}}}}}{{{r_1}}} \end{split} $$ (4) 水平井产量公式为
$$q = \dfrac{{\Delta p}}{R} = \dfrac{{2{\text{π}} kh\Delta p}}{{{\mu _{\rm{o}}}\left[ {{\rm{ln}}\dfrac{{{r_{\rm{e}}}}}{{{r_1}}} + {\rm{cosh}}{^{ - 1}}\left( {\dfrac{{{\rm{cosh}}\dfrac{{{\text{π}} \left( {a - h/{\text{π}} } \right)}}{{2b}}}}{{{\rm{sin}}\dfrac{{{\text{π}} L}}{{2b}}}}} \right) + \dfrac{h}{L}{\rm{ln}}\dfrac{h}{{2{\text{π}} {r_{\rm{w}}}}}} \right]}}$$ (5) 式中，q为水平井产量，m3/d；Δp为渗流区域的压差，MPa；R为各渗流形态下的渗流阻力，N。
在上述推导中，有2个未知量a、b，通过建立不同水平井长度下的精细数值模拟模型进行模拟，绘制水平井平面上压力场分布图，进而得到椭圆流的范围。研究表明，当
${r_{\rm{e}}} \geqslant 2L$ 时，推荐取$a = L$ ，$b = 2L$ ，则有$$ {r_1} = \sqrt {\dfrac{2}{{\text{π}} }} L\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {{r_{\rm{e}}} \geqslant 2L} \right) $$ (6) -
将新公式与已有的几种水平井产量公式对比。研究表明，李传亮综合形式水平井产量公式、李传亮长水平井产量公式、陈元千断块油藏水平井公式、窦宏恩公式、Giger公式等均为新综合公式在特殊情况下的简化或近似。
(1)若取值
$a = \dfrac{{{\text{π}} L}}{4}$ ，$b = L$ ，并忽略直径为$h/{\text{π}}$ 的近井垂向径向流对线性流的影响，则${r_1} = \dfrac{L}{2}$ ，${R_2} = \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}a}}{{4kLh}}$ ，公式(5)简化为李传亮公式[8]$$q = \dfrac{{2{\text{π}} kh\Delta p}}{{{\mu _{\rm{o}}}\left( {{\rm{ln}}\dfrac{{2{r_{\rm{e}}}}}{L} + \dfrac{{{\text{π}} a}}{{2L}} + \dfrac{h}{L}\ln \dfrac{h}{{2{\text{π}} {r_{\rm{w}}}}}} \right)}}$$ (7) 这种处理方式，事实上夸大了线性流的阻力，一方面没有精细考虑水平井两端所对应的2个近似半球(径向)形流，另一方面是没有考虑更为典型的椭圆流影响。
(2)若水平井穿透泄油区，外部平面径向流将不存在，此时
$b = L$ ，公式(5)简化为$$q = \dfrac{{2{\text{π}} kh\Delta p}}{{{\mu _{\rm{o}}}\left( {\dfrac{{{\text{π}} \left( {a - h/{\text{π}} } \right)}}{{2L}} + \dfrac{h}{L}{\rm{ln}}\dfrac{h}{{2{\text{π}} {r_{\rm{w}}}}}} \right)}}$$ (8) 上式与陈元千教授推导的断块油藏水平井产能公式[5]基本一致，差别在于陈元千教授的垂向径向流的直径取值为储层厚度
$h$ ，而本研究的取值为镜像反应原理所得的值$h/{\text{π}} $ 。若在计算中间平面径向流渗流阻力时，忽略近井较小范围内垂向径向流对线性流的影响，则公式简化为李传亮长水平公式[9]
$$q = \dfrac{{2{\text{π}} kh\Delta p}}{{{\mu _{\rm{o}}}\left( {\dfrac{{{\text{π}} a}}{{2L}} + \dfrac{h}{L}{\rm{ln}}\dfrac{h}{{2{\text{π}} {r_{\rm{w}}}}}} \right)}}$$ (9) 当上式中取值
$a = 2{r_{\rm{e}}}$ 时，进一步简化为窦宏恩公式[6]$$q = \dfrac{{2{\text{π}} kh\Delta p}}{{{\mu _{\rm{o}}}\left( {\dfrac{{{\text{π}} {r_{\rm{e}}}}}{L} + \dfrac{h}{L}{\rm{ln}}\dfrac{h}{{2{\text{π}} {r_{\rm{w}}}}}} \right)}}$$ (10) (3)当泄油面积为有限的矩形区域或水平井处于行列注采井网时，一般不会出现明显平面径向流，平面以椭圆流为主，则公式(5)简化为
$$q = \dfrac{{2{\text{π}} kh\Delta p}}{{{\mu _{\rm{o}}}\left[ {{\cosh}{^{ - 1}}\left( {\dfrac{{{\cosh}\dfrac{{{\text{π}} \left( {a - h/{\text{π}} } \right)}}{{2b}}}}{{{\rm{sin}}\dfrac{{{\text{π}} L}}{{2b}}}}} \right) + \dfrac{h}{L}{\ln}\dfrac{h}{{2{\text{π}} {r_{\rm{w}}}}}} \right]}}$$ (11) 上式分母的第1项与Giger箱形油藏水平井产能公式略有差异。实际矿场应用中，需要综合考虑泄油区形状、水平井位置、注采井网、水平井主要流态等因素选择科学合理的公式及参数来进行水平井产能计算和预测。
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已知渤海某油田水平井基本参数为：泄油面积A = 1 × 106 m2，rw = 0.1 m，k = 1 D，h = 10 m，zw =5 m， μo = 3 mPa · s，Δp = 1.0 MPa。对比不同水平井长度下的Borisov公式、Joshi公式、Giger-Resis-Jourdan公式、李传亮综合形式公式、窦宏恩公式以及新公式计算结果的差异，并分析其对泄油面积、储层厚度对产能的影响。
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如图4所示，随水平井长度或穿透比增加，平面线性流与椭圆流的影响逐渐增大，忽略了该项阻力的已有传统方法计算产能结果偏差越大，当水平井很长或穿透比接近1时，水平井的流态表现出与垂直裂缝井相似的特征，因此随着水平井长度或穿透比的增加，水平井产能表现为先近似直线增加，然后逐渐再平缓增加的特点。
图 4 不同公式计算结果对比曲线
Figure 4. Comparison between the calculation results of different formulas
随水平井长度增加，平面径向流渗流阻力占比逐渐减小，椭圆流渗流阻力占比逐渐增加，当水平井长度接近泄油范围时，平面径向流阻力影响很小，工程上可以忽略，也就是窦宏恩公式和李传亮长水平井公式所体现的情况(图5)。
图 5 不同渗流阻力所占比例变化图
Figure 5. Variation of the percentages of different percolation resistances
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当其他参数一定时，随泄油面积增加，水平井产能逐渐减小(图6)，这是因为水平井长度一定时，垂向径向流渗流阻力和平面椭圆流渗流阻力一定，随泄油面积增加，平面径向流的渗流阻力逐渐增加，在总的渗流阻力中占比也增加(图7)。
图 6 泄油面积对产能的影响
Figure 6. Effect of drainage area on productivity
图 7 不同渗流阻力所占比例变化
Figure 7. Variation of the percentages of different percolation resistances
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其他参数一定时，随储层厚度增加，水平井产能逐渐增加(图8)，平面椭圆流渗流阻力和径向流渗流阻力占比有所下降，垂向径向流渗流阻力占比增加明显，当储层厚度为50 m时，甚至超过平面径向流渗流阻力的占比(图9)。
图 8 泄油面积对产能的影响
Figure 8. Effect of drainage area on productivity
图 9 不同渗流阻力所占比例变化
Figure 9. Variation of the percentages of different percolation resistances
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(1)椭圆流是水平井渗流的主要形态之一，在计算水平井产能时不能忽略，否则计算结果会偏高。利用水电相似原理和等值渗流阻力方法，考虑平面椭圆流，推导出了新的综合形式的水平井产能公式。
(2)新的综合形式的水平井产能公式较常用公式适应性更强，能够计算不同泄油形状、穿透比等情况下的水平井产能。
A new comprehensive formula for productivity prediction of horizontal well
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摘要: 未考虑水平井渗流中典型的线性流与椭圆流特征的水平井产能预测公式，常导致产能预测结果偏于乐观。在分析水平井典型渗流特征的基础上，将油藏内流动区域划分为外部平面径向流、中间平面线性流与椭圆流以及内部垂向径向流3个区域，利用水电相似原理和等值渗流阻力方法，推导出综合形式水平井产能计算新公式，并对新公式进行适应性分析。结果表明，常用公式是新公式在特殊情况下的简化或近似，新公式适应性更强。根据新公式计算结果，随水平井长度或穿透比增加，平面线性流与椭圆流的影响逐渐增大，水平井产能表现为先近似线性增加再平缓增加的特点；当水平井很长或穿透比接近1时，水平井的渗流表现出与垂直裂缝井相似的特征。综合形式的新公式既可计算短水平井也可计算长水平井产能，同时也可预测不同泄油形状、注采井网等情况下的水平井产能。Abstract: The horizontal well productivity prediction formula doesn’t take into account the characteristics of typical linear flow and elliptic flow in horizontal wells, so its productivity prediction result is optimistic. The characteristics of typical flows in horizontal wells were analyzed, and accordingly the flow region in an oil reservoir is divided into three zones, i.e., the external plane radial flow, the central plane linear flow and elliptic flow, and the internal vertical radial flow. Then, a comprehensive horizontal well productivity calculation formula was newly derived by virtue of the water and electricity similarity principle and the equivalent percolation resistance method. Finally, its adaptability was analyzed. It is indicated that the commonly used formulas are the simplified or approximate versions of the new formula in the special situations. The calculation results of the new formula show that with the increase of the length or penetration ratio of horizontal well, the effect of plane linear flow and elliptic flow increases gradually, and its productivity presents the characteristic of increasing approximately linearly first and then gently. When the horizontal well is very long or its penetration ratio is approximate to 1, its flow characteristic is similar to that in vertically fractured wells. This new comprehensive formula can calculate the productivity of short and long horizontal wells and predict the productivity of horizontal well with different drainage shapes and injection-production well patterns.
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Key words:
- horizontal well /
- productivity prediction /
- linear flow /
- elliptic flow /
- radial flow
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图 4 不同公式计算结果对比曲线
Figure 4. Comparison between the calculation results of different formulas
图 5 不同渗流阻力所占比例变化图
Figure 5. Variation of the percentages of different percolation resistances
图 7 不同渗流阻力所占比例变化
Figure 7. Variation of the percentages of different percolation resistances
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