计算清蜡周期的关键是计算结蜡速率，而结蜡速率则与井筒温度场分布紧密相关。

Ramey通过理论推导，得到了计算井筒温度分布的指数温降模型为^[14]

式中，T（L，t）为流体温度，℃；a为地温梯度，℃ /m；L为深度，m；b为地表温度，℃；T₀为入井流体温度，℃；A为与时间有关的函数，m；ρ_l为流体密度，kg/m³；q_l为产液量，m³/d；k_f为地层导热系数，W/（m· ℃）；r_i为油管内径，m；U为油管内径和套管外径之间的综合传热系数，W/（m²· ℃）；f（t）为地层无量纲瞬时热传导函数；t为生产时间，d；C_p为比热容，kJ/（kg· ℃）。

根据该模型，可计算井筒任意位置处温度及井筒轴向温度梯度。

井筒结蜡速率预测模型包括溶解蜡分子的扩散沉积模型和蜡晶粒子的剪切沉积模型。

根据Fick扩散定律，结合相关实验，管壁上蜡的扩散沉积速度为

式中，dW_d/d_t为单位时间因分子扩散沉积的溶解蜡的质量，kg/s；C_d为沉积常数，一般取1 500^[15]；ρ_s为蜡晶密度，kg/m³；C_h为单位换算系数，0.826 757 8；S为蜡沉积表面积，m²；μ为流体黏度，mPa· s；V为井筒流体体积流量，m³/s；k为井筒流体热传导系数，kJ/（m· s· ℃）；d为油管直径，m；dT/dL为井筒轴向温度梯度，℃ /m^[16]；T_t为管壁温度，℃；dT/ dL可根据式（1）和式（2）计算得到。

蜡晶粒子以布朗运动和剪切分散作横向迁移，剪切沉积速度为

式中，dW_s/dt为单位时间内因剪切而沉积的结晶蜡质量，kg/s；C_s为单位换算系数，取35.314 67；γ为剪切速度，s^-1；T_c为析蜡点，℃。随着流速增加，结蜡量先增加后减少。一般认为，当剪切速率大于2 450 s^-1时，剪切沉积停止。

结合式（3）和式（4），总的蜡沉积速度为^[17]

式中，dW/dt为蜡的总沉积速度，kg/s。考虑到石蜡中捕集油的影响，石蜡沉积厚度的增长速度为

式中，v_h为蜡沉积厚度的增长速度，m/s；H_s为蜡在不流动层中的含量，无因次；ρ_o为捕集层中原油的密度，kg/m³。

结合蜡沉积厚度的增长速度，可得到油管管壁蜡沉积厚度为

式中，δ（L，t）为管壁结蜡厚度，mm。

在生产时间一定时，由式（7）可得到井筒结蜡剖面，如图 1所示。

图  1  井筒结蜡剖面示意图

Figure 1.  Sketch map of well wax deposition

通过数据拟合，得到深度与结蜡厚度的关系式为

通过数学积分方法即可求得平均结蜡厚度为

式中，δ_a为平均结蜡厚度，mm；δ₀为井口结蜡厚度，mm；L_D为结蜡深度，m。

根据现场生产经验，当油管内径减少10 mm后，产量将受到严重影响，需要清蜡^[18]。因此，假设不同生产时间，由式（7）计算得到相应的井筒结蜡剖面，进一步拟合得到式（8），并由式（9）计算δ_a，直至δ_a=10 mm时，对应的生产时间即为清蜡周期。

一般而言，油井在投产后，产液量和含水率变化范围较大，因此计算不同产液量及含水率下对应的清蜡周期，即可绘制清蜡周期预测图版。应用该图版可确定该井在不同生产阶段的清蜡周期。

由式（1）、（6）可知，井轨迹、原油性质、油管尺寸等因素直接影响温度分布及结蜡速率，也间接影响着清蜡周期。因此，所建立的清蜡周期预测图版也适用于具有相似条件的其他电潜泵井。实际上，对生产同一区块、同一层位、井型一致、油管尺寸一致的井组，建立一个清蜡周期预测图版即可。陆地油田自喷井与电潜泵井具有相似结构的生产管柱，因此该方法同样适用于陆地油田自喷井。

以渤海某油田A区块A1井为例。A1井为大斜度井，储层中部垂深2 148 m（斜深3 079 m），原始储层温度73.1 ℃，储层压力21.1 MPa。50 ℃原油黏度为4.05 mPa· s；地面原油含蜡量19.7%，沥青质含量0.1%，胶质含量4.5%，凝固点27 ℃，析蜡点44.8 ℃。采用电潜泵举升，电泵下入垂深1 445 m，并下入泵工况；生产管柱为Y管合采管柱，Y接头以上油管内径为76 mm。实际生产情况见表 1。

为充分利用泵工况监测数据，选择Y接头以上油管段进行建模计算。

根据表 1实际生产数据，利用井筒温度场分布数学模型预测得到井筒温度剖面，如图 2所示。

图  2  井筒温度剖面模拟结果

Figure 2.  Simulation results of well temperature profile

由图 2可知，预测井口温度36.0 ℃，实测井口温度36.0 ℃，拟合结果较好。在当前生产条件下，井筒温度随深度变浅呈线性下降，平均温降梯度为1.99 ℃ /100 m。同时，模拟得到不同产液量及含水率下井口产液温度，如图 3所示。

图  3  产液及含水率变化对井口温度的影响

Figure 3.  Effect of production liquid and water content on wellhead temperature

由图 3可知，含水率一定时，产液量越大，井口产液温度越高。主要是由于产液增加，流体流速增加，产出流体携带的热量越大，油管内流体纵向的对流换热强度也越大^[19]。产液量一定时，井口产液温度随含水率增大呈线性增加。主要是由于水的比热大于油，含水率越高，产出流体保持的温度就越高。因此，产液量越大、含水率越高，井筒结蜡深度越浅；反之，则井筒结蜡深度越深。当前生产条件下结蜡深度约为480 m。考虑结蜡点以下200 m作为清蜡深度，则清蜡深度为680 m。

结合井筒温度场分布，模拟得到产液量为70 m ³/d、含水率为1.0%条件下生产不同时间后的井筒结蜡剖面，如图 4所示。

图  4  预测井筒结蜡剖面

Figure 4.  Prediction of well wax deposition profile

由图 4可知，越靠近井口位置，结蜡厚度越大。主要是由于越靠近井口，温度越低，蜡分子和蜡晶粒子沉积速率越大。随着生产时间的延长，沉积的蜡不断聚集，结蜡深度加深，同一深度处结蜡厚度增加，直至井筒完全堵塞。预测当前生产条件下蜡堵周期为18.3 d。

计算得到清蜡周期与产液量、含水率关系曲线如图 5所示。可以看出，含水率一定时，清蜡周期与产液量呈幂函数关系，且产液量越大，清蜡周期越长。一方面，产液量越高，井筒温降梯度越小，管壁温度和析蜡点之差就越小，致使蜡分子的扩散沉积速度减缓。另一方面，产液量越大，流体对析出蜡晶的冲刷作用和携带能力加强，蜡晶粒子的剪切沉积速度下降^[20]。实际生产中发现，高产井结蜡比例较少。产液量对清蜡周期的影响比较敏感，现场应密切关注产液量下降情况，尽快实施相应的井筒清蜡措施。

同时，由图 5可知，产液量一定时，清蜡周期与含水率呈指数函数关系，且含水率越高，清蜡周期越长。一方面，含水率越高，混合流体中的含蜡量越低，蜡沉积的物质基础有所减少，且含水率越高，流体温度越高，蜡扩散沉积趋势减缓；另一方面，含水越高，越容易在管壁形成连续水膜，不利于蜡的沉积附着。实际生产中发现，随着含水率增加，油井结蜡程度减弱。

图  5  清蜡周期与产液量及含水率关系曲线

Figure 5.  Relationship of wax removal cycle vs. liquid yield and water conten

考虑产液量及含水率对清蜡周期和温度场分布的影响，绘制了A1井清蜡周期和清蜡深度预测图版，如图 6和图 7所示。

图  6  A1井清蜡周期预测图版

Figure 6.  Prediction chart of wax removal cycle in Well A1

图  7  A1井清蜡深度预测图版

Figure 7.  Prediction chart of wax removal depth in Well A1

渤海某高含蜡油田A区块内3口生产井A1、A2、A3井均属于大斜度井，生产同一层位，原油性质一致，平均含蜡量为19.0%，析蜡点44.8 ℃，凝固点为27 ℃左右。油管内径均为76 mm，均采用电潜泵生产。因此，以A1井基础数据建立的清蜡周期预测图版也适用于A2和A3井。

根据A区块的清蜡周期预测图版及3口井实际产液、含水情况，预测3口井的清蜡周期见表 2，分别为11 d、15 d、46 d。实际清蜡周期分别为8 d、12 d、39 d，预测结果吻合度较高。实际上，考虑到结蜡后产液量下降，清蜡周期将会随之变短，因此，实际清蜡周期较预测清蜡周期更短。由表 2可知，实际作业中，清蜡作业遇阻点深度在井口及结蜡深度以下100~200 m，且A3井产液量较大，清蜡遇阻点位置较浅。清蜡周期和清蜡深度预测图版为油田现场快速确定清蜡周期和作业深度提供了依据，对高含蜡油田高效开发具有重要指导意义。

（1）清蜡周期随产液量的下降呈幂函数形式变短，随含水上升呈指数函数形式增加。

（2）建立了A区块清蜡周期预测图版，预测3口井的清蜡周期与实际清蜡周期吻合度较高，清蜡深度预测图版则进一步为现场作业提供了参考依据。清蜡预测图版不仅可以用于海上油田电潜泵井，也适用于陆地油田自喷井。

（3）对于高含蜡油井，建议综合论证使用隔热油管防蜡等技术。