冲蚀计算模型是材料的冲蚀损失量和预定变量的关联式。早期冲蚀计算模型多以冲蚀机理为出发点，如Finnie^[7]提出的基于塑性材料微切削理论和Bitter^[8-9]提出的基于冲蚀变形磨损理论的冲蚀模型。这些冲蚀计算模型能够反映材料的冲蚀特征，但是复杂的形式及较多的变量限制了在复杂几何体中的应用。Meng和Ludema^[10]通过研究大量的冲蚀计算模型，发现应用最为广泛的是一系列的半经验模型，即通过冲蚀基础理论构建计算模型的基本结构，利用实验数据确定待定参数。

McLaury^[11]以大量冲蚀实验数据为基础，提出与材料性质、颗粒形状、颗粒冲击速度及角度等因素有关的冲蚀经验计算模型，其一般形式为

式中，E_R为材料的相对冲蚀质量损失，定义为冲蚀后材料的质量损失与入射颗粒总质量的比值，kg/kg；A为材料性能相关常数；F_s为颗粒的形状系数，球形颗粒时F_s=0.2，半球形颗粒时F_s=0.53，尖角形颗粒时F_s=1.0；u_p为颗粒冲击速度，m/s；m为速度指数；f（θ）为颗粒冲击角度函数。

McLaury仅给出了金属材料为碳钢和铝时的待定参数值（材料性能相关常数A、速度指数m及颗粒冲击角度函数f（θ）），对于除碳钢和铝外的材料，其相关参数需要通过实验得出。本文以McLaury的冲蚀计算模型为基础，利用水力喷射工具主体材料35CrMo钢的冲蚀实验（实验中假设携砂液的喷射速度和角度即为颗粒撞击壁面的速度和角度），确定出冲蚀计算模型中的待定参数，得到半经验的冲蚀计算模型。以该计算模型为基础，利用DPM数值模拟方法研究水力喷砂射孔过程喷射工具内部的液固两相流场分布及冲蚀损伤，分别讨论了液相参数和固相颗粒参数对上、下游喷嘴颗粒含量及工具本体喷嘴入口区域冲蚀损伤的影响。

液相是0.2%的羟丙基瓜尔胶溶液，湍流模型采用标准k-ε模型描述，在Eulerian坐标系下求解液体相连续性方程和动量守恒方程^[12]

式中，ρ为液体密度，kg/m³；u为液体速度，m/s；g为重力加速度，m/s²；p为压力，Pa；τ为液体应力张量；α为液体体积分数；f_d为颗粒所受到的液体平均阻力，N；ΔV和V_{p, i}分别为计算控制体的体积和颗粒在该控制体中的体积，m³；f'_d为单颗粒所受的液体黏性阻力，N；n为控制体中的颗粒数。

固相颗粒应用离散相模型（DPM）在拉格朗日坐标系下进行计算，固相颗粒湍流采用随机游走模型（DRW）描述。颗粒的运动平衡方程为（牛顿第二定律）^[13]

式中，m_p为颗粒的质量，kg；F_m为单位质量颗粒的附加质量力，kg；F_d为单位质量颗粒所受的液体黏性阻力，N/kg；ρ和ρ_p分别为液体和颗粒的密度，kg/m³；d_p为颗粒当量直径，m；C_D为曳力系数；Re_p为颗粒的相对雷诺数；µ为液体相的动力黏度，Pa·s。

水力喷射工具几何模型如图 1所示，上、下游间隔90 mm，各布置3个直径6.3 mm喷嘴，3个喷嘴呈120°相位角分布，下游喷嘴与上游喷嘴相位相差60°。以实际水力射孔工况为条件，在计算模型建立中加入套管内壁。模型计算的区域分为喷枪内部区域、6个喷嘴及环空区域。携砂液体由入口水平方向流入喷射工具，经前后两段喷嘴加速高速射流套管内壁后经环空出口流出。

图  1  水力喷射工具局部几何模型

Figure 1.  Local geometric model of the hydraulic jet tool

利用水力喷射工具本体材料35CrMo的冲蚀实验确定冲蚀计算模型中的待定系数（材料性能相关常数A、速度指数m及颗粒冲击角度函数f（θ））。实验装置同文献[14]。实验以0.2%的羟丙基瓜尔胶溶液为携砂液体，石英砂为固体颗粒。材料试样直接从现场油管取材，实验前用砂纸打磨试样表面并去除凹坑、毛刺等缺陷，用无水乙醇清洗，冷风吹干后称重并记录初始重量。实验过程中携砂液体经砂浆泵加速后射流冲蚀实验试样，持续射流90 min后使用实验前同样的方法处理试样并称重，最后将试样的失重量换算为冲蚀损失。实验中通过变频器调节实验流量，由电磁流量计进行校准。采用精度为0.1 mg的电子天平完成试样称重。

通过实验结果拟合（图 2和图 3）得出35CrMo材料性能相关常数A=1.49×10^-12，速度指数m= 3.56，颗粒冲击角度函数可表述为

图  2  角度冲击函数随颗粒冲击角度变化实验数据拟合曲线

Figure 2.  Experimental data fitting curve of angle impact function changing with particle impact angle

图  3  相对冲蚀质量损失随颗粒速度变化实验数据拟合曲线

Figure 3.  Experimental data fitting curve of relative erosion mass loss changing with particle velocity

假定颗粒为均匀球状颗粒（F_s=0.2），则冲蚀计算模型为

将材料的冲蚀质量损失E_R换算为材料的壁厚损失

式中，T_e为材料的壁厚损失，mm/s；Q为颗粒的质量流率，kg/s；S为壁面面积，m²；ρ_e为材料的密度，kg/m³。

采用现场常用工况，固定入口颗粒含量为140 kg/m³，计算排量为1.7~2.2 m³/min（速度为27.85~36.04 m/s）时的冲蚀壁厚损失。由图 4可以看出，流经下游喷嘴的颗粒含量高于入口颗粒含量，而流经上游喷嘴的颗粒含量低于入口颗粒含量。这是由于颗粒相的惯性作用阻止了颗粒在短时间内快速改变运动方向进入孔眼，致使大部分颗粒越过了上游喷嘴而继续至下游喷嘴和工具尾部，尾部的部分颗粒经壁面反弹后返流进下游喷嘴，致使下游喷嘴的颗粒含量增大。同时，在该速度范围内流经上、下游喷嘴的颗粒含量不随液体速度的变化而变化。这是因为液体速度对颗粒分布的影响存在较低的速度临界值，高于临界值的液体速度将不会影响颗粒的分布^[15]。

图  4  不同入口排量流经喷嘴的颗粒含量及喷嘴入口最大冲蚀壁厚损失

Figure 4.  Particle sizes flowing through nozzles with different inlet displacement and maximum erosion wall thickness loss at nozzle inlets

由不同排量下喷嘴入口区域的最大壁厚冲蚀损失对比可看出，随着排量的增大，上、下游喷嘴入口区域的最大壁厚冲蚀损失均不断增大；下游喷嘴增幅大于上游喷嘴，导致上、下游壁厚损失的差值不断增大。这是因为随着入口排量的增大，单颗粒撞击壁面的速度不断增大导致冲蚀损伤加剧，而下游喷嘴较高的颗粒含量导致冲蚀损伤叠加明显，表现为壁厚损失的增幅较大。

固定入口颗粒含量为140 kg/m³，排量2.0 m³/min，分别进行液体黏度为0.001、0.02、0.05 Pa·s时的冲蚀壁厚损失计算。由图 5可以看出，随着液体黏度的增大，流经上游喷嘴的颗粒含量不断增大，而下游喷嘴的颗粒含量不断减小。由于液体黏度的增大使得颗粒受到液体的阻力增大，削弱了颗粒本身的惯性作用，因此颗粒在上、下游喷嘴内的含量逐渐趋于入口颗粒含量。

图  5  不同黏度液体流经喷嘴的颗粒含量及

Figure 5.  Particle contents of fluids with different viscosity flowing through the nozzles and maximum erosion wall thickness loss at nozzle inlets

当液体黏度发生改变时，喷嘴入口区域的最大冲蚀壁厚损失与流经喷嘴颗粒的含量相关联。随着液体黏度的不断增大，上、下游喷嘴的颗粒含量分别增大和减小，导致上、下游喷嘴入口区域的最大壁厚冲蚀损失分别增大和减小。

以排量2 m³/min和黏度0.02 Pa·s为计算工况，讨论入口颗粒含量为100~200 kg/m³时的冲蚀壁厚损失（见图 6）。

图  6  不同入口颗粒含量流经喷嘴的颗粒含量及喷嘴入口最大冲蚀壁厚损失

Figure 6.  Particle contents flowing through nozzles at different inlets and maximum erosion wall thickness loss at nozzle inlets

图 6可看出，随着入口颗粒含量的增大，流经上、下游喷嘴的颗粒含量均不断增大，下游喷嘴的颗粒含量始终大于上游喷嘴的颗粒含量。上游喷嘴入口区域的最大壁厚冲蚀损失随入口颗粒含量的增大不断增大，而下游最大壁厚冲蚀损失随入口颗粒含量的增大先增大后减小，至入口颗粒含量为160 kg/m³时达到峰值，此时对应的下游喷嘴颗粒含量为208 kg/m³。这是因为流经喷嘴液体中颗粒含量为208 kg/m³时颗粒撞击壁面的动能达到临界值，继续增大颗粒量，颗粒之间的相互碰撞会损失颗粒本身的动能，导致冲蚀损伤减小。

选取排量2 m³/min、黏度0.02 Pa·s以及入口处颗粒含量140 kg/m³为计算工况，分别进行石英砂粒度为20/40目、40/60目、60/80目时的工具冲蚀性能分析。由图 7可看出，60/80目时上、下游喷嘴的颗粒含量分布差异性最小，20/40目时颗粒含量分布的差异性最大。这是因为相同颗粒密度下，小直径颗粒的单个颗粒质量较小，受惯性的影响较弱。在该工况下，3种粒度颗粒对内壁面最大壁厚冲蚀损失影响不大（图 8）。

图  7  不同直径颗粒流经喷嘴的颗粒含量

Figure 7.  Contents of particles with different diameters flowing through the nozzles

图  8  不同直径颗粒流经喷嘴的入口最大冲蚀壁厚损失

Figure 8.  Maximum erosion wall thickness loss of particles in different diameters flowing through nozzles

在排量2 m³/min和黏度0.02 Pa·s的流体介质下，选用密度2 650 kg/m³的石英砂和1 650 kg/m³的陶粒计算工具的冲蚀壁厚损失。由图 9可以看出，使用低密度的人工陶粒时，流经上、下游喷嘴颗粒含量的差值较使用高密度的石英砂时小。相同颗粒直径时，陶粒的单个颗粒质量较小，受惯性的影响较弱，使得上游喷嘴内的颗粒含量增大，致使流经上、下游喷嘴的颗粒含量区域相同。Daneshy^[16]的分析中也得出了类似的结论。

图  9  不同密度颗粒流经喷嘴的颗粒含量

Figure 9.  Contents of particles with different density flowing through nozzles

使用高密度的石英砂时，下游喷嘴入口区域的壁厚损失明显大于下游喷嘴的壁厚损失，上、下游壁厚损失的差值较大。而使用低密度的陶粒时下游喷嘴入口区域的壁厚损失变小，上游喷嘴入口区域的壁厚损失变大，上、下游壁厚损失的差值变小（图 10）。这是由于使用低密度的陶粒时，流经上游喷嘴的颗粒含量增大使得上游喷嘴入口区域的最大壁厚冲蚀损失增大；流经下游喷嘴的颗粒含量小于使用高密度石英砂的情况，使得下游喷嘴入口区域的最大壁厚冲蚀损失有所减小。

图  10  不同密度颗粒流经喷嘴的入口最大冲蚀壁厚损失

Figure 10.  Maximum thickness loss of particles with different density at nozzle inlets

（1）基于水力喷射工具本体材料的冲蚀实验拟合出冲蚀计算模型参数，采用DPM数值模拟方法，研究了喷射工具内部液固两相流场分布及冲蚀壁厚损失。为减小上、下游喷嘴颗粒含量和喷嘴入口区域最大壁厚冲蚀损失的差值，分别讨论了液相参数和固相颗粒参数对喷嘴内颗粒含量及冲蚀的影响。

（2）速度的增大对流经上、下游喷嘴颗粒含量的差异性影响较小，但会使上、下游喷嘴入口区域的最大壁厚冲蚀损失同时增大；使用高黏度流体对上、下游喷嘴颗粒分布及冲蚀的差异性改善明显。建议在实际生产过程中，尽可能使用携砂性较好的高黏度压裂液，在保证作业效率和工具寿命的同时控制施工排量。

（3）入口颗粒含量的增大会同时增大流经上、下游喷嘴的颗粒含量，喷嘴入口区域的最大壁厚冲蚀损失随颗粒含量的增大存在峰值。使用小直径和低密度的颗粒时，上、下游喷嘴颗粒含量及冲蚀损伤的差异较小。建议在实际生产过程中，尽量选用低密度小直径的颗粒，入口颗粒含量应避开该排量下的临界颗粒含量以减小下游冲蚀损伤。