水平井分段压裂时，认为压裂段内包含多个射孔簇，每个射孔簇假设为一条垂直于最小水平主应力的横向裂缝，从而抽化出描述段内多缝簇同步起裂延伸的几何模型（图 1）。借鉴直井多层压裂“限流法”思想进行动态流量分配，认为孔眼摩阻压降、水平井沿程摩阻压降、缝内压降和缝簇间诱导应力场等同时控制各缝的进液量，并根据基尔霍夫第一和第二定律形成流量分配迭代的非线性方程组和相关约束条件。

图  1  水平井分段压裂多簇射孔示意图

Figure 1.  Schematic multi-cluster perforation of staged horizontal well fracturing

其他假设条件：水力裂缝所在页岩产层中扩展延伸，每一层岩石是均质、各向同性的线弹性体，岩石弹性应变主要发生在水平面；各射孔簇只能形成关于水平井对称的横向裂缝，且同时起裂，裂缝高度假设等于产层厚度，并且暂时不考虑因为诱导应力过大导致裂缝闭合的情况；压裂液为幂律性流体，并且以恒定排量注入，不考虑压裂液压缩性，同时压裂液在裂缝内各点处都处于层流状态；压裂液的滤失不影响压裂液在缝中的压力分布；垂直裂缝缝长方向上的缝内的压力降取决于垂直裂缝的横截面内的流动阻力。

压裂段内多缝同步延伸模型的压降分析来自于Elbel等提出的多层压裂思想，流量分配原则及经验压降公式如下^[9]。

在水平井分段多簇压裂过程之中，除了从每条横向裂缝产生的动态滤失之外，压裂液并没有其他质量的损失，所以符合基尔霍夫第一定律，即注入压裂液的总量等于各条裂缝入口流量之和，为

式中，q_t为注入压裂液的总排量，m³/s；n为每段压裂改造的射孔簇数；q_i为进入每条簇的流量，m³/s。

整个水平井段内分簇压裂改造过程中整个水平井筒的压力系统应满足压力连续准则，即满足基尔霍夫第二定律，为

式中，p为井口泵入总压力，Pa；σ_min为产层内沿水平井筒方向的最小水平主应力，Pa；Δp_wi为第i条射孔簇延伸时的压裂液流动压降，Pa；Δp_pfi为第i条射孔簇射孔摩阻压降，Pa；Δp_cfj为第j条与j–1条射孔簇间的沿程摩阻压降，Pa。分段压裂由于产生的横向裂缝缝高有限，所以水平分段多簇压裂流量分配时无需考虑重力压降和层间地应力差异。

式（2）中除地应力已知外，需要计算的未知压降主要有3部分，分别为Δp_wi，Δp_pfi和Δp_cfj

式中，a₁为校正因子；ρ_f为流体密度，kg/m³；n_p为射孔的孔眼数量；d_p为射孔孔眼直径，m；B为孔眼流量系数，若不含支撑剂，B取值0.5~0.6；L_p为管柱长度，m；N_e雷诺数；v_p为流体在管柱内流速，m/s；d_p为管柱内径，m；f为摩阻因数；n为流变指数；K为稠度系数，Pa ·sⁿ；E_p为平面应变模量，Pa；h为产层厚度，m；Φ为几何参数；V_i为各射孔簇形成水力裂缝的体积，m³；A为裂缝横截面积，m²。

在水平井分段压裂过程中，形成的人工裂缝会在周围产生诱导应力场，影响到相邻裂缝的延伸扩展。研究发现，裂缝最短几何维数即裂缝宽度是应力干扰中受影响最为明显的因素，所以可以通过缝宽的改变影响缝内流场分布和整个多裂缝系统的几何形态。为此，引入缝间干扰因子来近似表示应力干扰强度，并建立受缝间干扰和未受缝间干扰裂缝缝宽之间的表达式，为

缝簇系统内外侧裂缝和中间裂缝受到应力干扰程度不同，所以缝簇系统内、外侧裂缝干扰因子也存在差异，计算公式为

式中，E为岩石弹性模量，Pa；v为岩石泊松比；w_a、w_e分别为缝簇系统内、外侧受应力干扰下的裂缝缝宽，m；w_o为缝簇系统内不考虑应力干扰的裂缝缝宽，m；η_a、η_e分别为缝簇系统内、外侧校正因子；d_ij为任意两射孔簇之间的距离，m。

以3条裂缝为例，应用经验解析法计算了不同无因次间距条件下的裂缝宽度，同其他学者采用位移不连续法计算的成果对比发现（如图 2所示）^[10]，经验解析解具有较好的精度。特别是在无因次缝间距小于0.5时吻合度很高，而无因次缝间距大于0.5以后则有一定偏差。缝间干扰因子的引入可以将簇间应力干扰对多簇裂缝同步扩展的影响以解析方式进行简单表达。各簇裂缝的几何形态则可以通过PKN模型的压降和连续性方程进行求取^[11]。

图  2  不同方法下考虑缝间干扰的缝宽计算结果

Figure 2.  Fracture width calculated by different methods taking into consideration the interference between fractures

考虑应力干扰、摩阻压降等复杂因素的多缝同步扩展数学方程组具有较强的非线性，需要通过迭代法进行求解。牛顿迭代法为二阶收敛，且收敛阶数较低，导致解方程组所用的迭代次数较多^[12]。为此，采用Picard迭代解法进行非线性方程组求解，该方法只需求解一次Jacobi矩阵和其逆矩阵，减轻了计算量。改写式（1）和（2），满足式（11）和（12）。

根据质量平衡方程，方程组需要同时满足

采用行矢量的方式建立方程组（13）和（14）为

形成的Jacob矩阵为式（15），可以看出最后1列向量求导后为1。

形成的Picard迭代方程组为式（16）

数值结果表明非线性迭代格式是有效的。将上述压裂理论和数学解法进行编程形成软件，可以实现对水平井分段多簇裂缝同步扩展的模拟分析。

模拟3条裂缝的情况（分别标为1号、2号和3号）如图 1所示，进行敏感性分析的相关输入参数见表 1，主要包括储层簇间距、压裂液黏度、射孔密度、滤失系数等参数。

表 1  数值模拟基本参数

Table 1.  Basic parameters of numerical simulation

簇间距是影响“应力阴影”范围和大小的核心因素，在射孔段长度固定的情况下，将簇间距从15 m增加到35 m，如图 3所示。随着簇间距越大，应力干扰程度越小，主要体现在中间2号裂缝的长度和宽度都有所增加，且增加幅度非常明显。相应的则是缝簇系统两侧的裂缝缝长和缝宽随着簇间距的增加则都有一定程度的下降。就影响程度而言，1号和3号裂缝都在缝簇系统外侧，但1号裂缝由于比3号裂缝离注入点较近，可以吸收更多的压裂液，因此3号裂缝的缝长和缝宽下降程度较1号裂缝更明显。如果考虑后续支撑剂的注入，则只需考虑中间裂缝的缝宽值满足支撑剂的粒径的大小即可。

图  3  不同簇间距对缝簇系统几何参数的影响

Figure 3.  Effect of cluster spacing on the geometric parameters of fracture cluster system

如图 4所示，随着孔密增加，缝簇系统内1号、2号和3号裂缝的几何形态变化并不明显，这说明射孔数量的高低对簇间干扰性的影响程度较低。另外研究表明，相较于射孔方位、射孔孔径大小、射孔间距等其他核心射孔参数，孔密对裂缝起裂压力的影响同样有限。超过20孔/m就属于高孔密射孔，射孔穿透深度较常规低密度射孔要低，但可以减少地层出砂。如果页岩气储层改造时没有产生明显的近井带污染或者不需要考虑后续的酸化处理，则一般将水平井分段压裂的射孔孔密控制在16~20孔/m左右就可以满足工程的需要。

图  4  不同射孔密度对缝簇系统几何参数的影响

Figure 4.  Effect of perforation density on the geometric parameters of fracture cluster system

如图 5所示，随着压裂液黏度的不断增加，缝簇内各裂缝的缝长略有降低，而裂缝的宽度则显著增加，对于1号和3号裂缝更是如此，说明裂缝宽度对压裂液黏度的变化更为敏感。考虑到压裂施工成本的问题，现场多采用滑溜水压裂液进行造缝。对于存在弱胶结面的裂缝性发育页岩储层，低黏度滑溜水更容易促使储层产生裂缝网络而扩大改造体积。

图  5  压裂液黏度对缝簇系统几何参数的影响

Figure 5.  Effect of fracturing fluid viscosity on the geometric parameters of fracture cluster system

控制压裂液滤失是常规砂岩等储层进行有效压裂施工的关键步骤。如图 6所示，随着综合滤失系数的不断增加，缝簇内1号、2号和3号裂缝的缝长和缝宽都有非常明显的降低，这说明了滤失对裂缝的扩展延伸有着非常重要的作用。对于裂缝性页岩气储层而言，滤失较高有益于水力裂缝与天然裂缝的充分沟通，可以扩大储层体积改造规模，所以页岩气压裂后返排量一般较低时页岩气产量较高。除非页岩储层基质的渗透率极低且天然裂缝不发育，否则一般不应忽略滤失对水力裂缝扩展的影响。

图  6  综合滤失系数对缝簇系统几何参数的影响

Figure 6.  Effect of composite filtration coefficient on the geometric parameters of fracture cluster system

以四川盆地某页岩气储层为例进行水平井分段多簇裂缝同步扩展模型的应用，该地区储层表现出砂泥岩互层的特征。经测井数据结合矿物组分分析发现，该页岩储层的黏土含量偏高，除石英外，还含有长石和碳酸盐等脆性矿物。成像测井显示天然裂缝发育一般。选取某水平井两段脆性程度发育类似的储层进行比较，考虑排量上下波动，设计单段射孔数目为36孔，对应单簇射孔数目12孔，平均单孔流量0.28 m³/min，此时射孔摩阻压降为2.3 MPa。利用建立的数学模型进行了压裂设计，每个压裂段内皆设计为3簇裂缝，其中A段和B段设计簇间距分别为25 m和20 m，结果发现B段采用20 m簇间距设计的压裂微地震面积要略小，同时B段伴随了一定程度的砂堵问题。所以后续利用模型优化形成25 m簇间距进行该井其他井段的后续压裂施工。采用直径5 mm、6 mm、8 mm油嘴控制放喷，用Ø20 mm孔板求产，试气平均产气量17.5×10⁴ m³/d，后续跟踪产气量稳产在19.8×10⁴ m³/d，水平井分段多簇压裂优化效果显著，证实了模型的可靠性。

（1）簇间距是影响流量分配的核心参数，外侧裂缝延伸更为充分，中间裂缝延伸扩展受到明显抑制。当簇间距等于裂缝高度时，则缝簇间应力干扰则可以几乎忽略。

（2）压裂液黏度会在一定程度上对各裂缝的延伸起到作用，特别是对缝宽影响十分显著。地层滤失高低影响改造体积范围，射孔密度的改变对裂缝的形态影响相对来说较不敏感。

（3）考虑应力干扰、射孔和沿程摩阻压降及滤失影响下的水平井分段多簇压裂时，产生的各条裂缝形态各不相同，通过调整射孔位置或者采用变密度射孔调节摩阻可改变各条裂缝几何形态，实现段内多缝均匀同步延伸。