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低渗透油藏开发中, 为了获得工业油流, 一般都要实施压裂改造。对压裂后的产能进行评价和预测, 在优化压裂设计中有着重要的意义[1]。国内外学者对垂直裂缝井产能做了大量的研究。Prats[2-3]给出了等效井径曲线; Raymond-Binder[4]给出了产量预测公式, 但在计算时忽略渗流模式而做出粗略近似。蒋廷学[5-6]运用保角变换推导出无限和有限导流垂直裂缝井的产能公式以及考虑井筒流动的垂直裂缝井的产能公式, 姜瑞忠[7]基于低速非线性渗流新模型运用保角变换建立了低渗透无限导流和有限导流垂直压裂井产能公式, 任俊杰[8]运用保角变换得到了非对称裂缝压裂气井的计算公式。国内的研究主要基于保角变换, 认为渗流场的等势线是以裂缝两端点为焦点的椭圆, 但实际渗流场不一定如此。经过压降分析, 流体在裂缝尖端会以径向流流入裂缝; 再根据Cinco-ley[9]提出的双线性流理论, 垂直于裂缝面方向上的流体会以线性流流入裂缝; 最后裂缝中的流体以线性流流入井筒。因此笔者提出垂直裂缝井的渗流模型由汇入裂缝尖端的径向流、垂直于裂缝的线性流和裂缝内的线性流组成, 更加符合垂直裂缝所引起的渗流场, 并且由此建立的产能方程计算简单、应用便捷。
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垂直裂缝井的平面流场如图 1所示, 可将泄油体分为2个半圆柱体地层、2个长方体地层和裂缝。地层的渗流过程可分为2个阶段, 基质流入裂缝即长方体地层中发生垂直于裂缝的线性流和半圆柱体地层中发生径向流流入裂缝中, 裂缝流入井筒即裂缝中的流体沿裂缝的线性流动。
图 1 垂直裂缝井在xy平面上的泄油面
Figure 1. Oil drainage in xy plane of vertically fractured well
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1.2.1模型假设 考虑储层特征建立低渗透垂直裂缝井产能模型, 作出以下假设:(1)储层上下边界封闭, 厚度为h, 地层中心1口直井; (2)垂直裂缝且对称分布于油井的两侧, 裂缝剖面为矩形, 裂缝半长xf, 宽wf, 高度等于地层高度; (3)油藏和裂缝内流体为单相流体, 不可压缩, 渗流为等温稳定渗流, 不考虑重力影响; (4)地层中考虑启动压力梯度的影响, 裂缝中不考虑启动压力梯度的影响。
1.2.2无限导流裂缝的产能公式 平面径向流和线性流的流动方式和压力梯度分布特征是完全不同的, 因此两者的启动压力梯度也完全不同[10]。无限导流能力裂缝压力均匀分布等于井底流压pw, 考虑启动压力梯度的影响, 长方体泄流区用单向流求解, 得到流量公式为
$$ q_{1}=\frac{3.456 x_{\mathrm{f}} K h}{\mu B_{\mathrm{o}}}\left(\frac{p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{w}}}{r_{\mathrm{e}}-w_{\mathrm{f}} / 2}-G_{1}\right) $$ (1) 式中, q1为长方体泄流区流量, m3/d; xf为裂缝半长, m;K为地层渗透率, D;h为油层厚度, m;μ为原油黏度, mPa·s; Bo为原油体积系数; pe为边界供给压力, MPa; pw为井底流压, MPa; re为供给半径, m;wf为裂缝宽度, m;G1为线性流启动压力梯度, MPa/m。
2个半圆柱体拼合后为平面径向流, 如图 2所示, 内边界为
图 2 平面径向流示意图
Figure 2. Sketch of areal radial flow
$$ r_{\mathrm{c}}=\frac{w_{\mathrm{f}}}{2} $$ (2) 平面径向流求解得到流量公式为
$$ q_{\mathrm{r}}=\frac{1.728 \pi K h}{\mu B_{\mathrm{o}}} \frac{\left(p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{w}}\right)-G_{2}\left(r_{\mathrm{e}}-w_{\mathrm{f}} / 2\right)}{\ln \frac{2 r_{\mathrm{e}}}{w_{\mathrm{f}}}} $$ (3) 式中, rc为平面径向流的内边界, m;qr为平面径向流流量, m3/d; G2为平面径向流启动压力梯度, MPa/ m。
垂直裂缝井产量q=ql+qr, 则无限导流裂缝的产能公式为
$$ \begin{array}{c} q=\frac{3.456 x_{\mathrm{f}} K h}{\mu B_{\mathrm{o}}}\left(\frac{p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{w}}}{r_{\mathrm{e}}-w_{\mathrm{f}} / 2}-G_{1}\right)+\frac{1.728 \pi K h}{\mu B_{\mathrm{o}}} \times \\ \frac{\left(p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{w}}\right)-G_{2}\left(r_{\mathrm{e}}-w_{\mathrm{f}} / 2\right)}{\ln \frac{2 r_{\mathrm{e}}}{w_{\mathrm{f}}}} \end{array} $$ (4) 1.2.3有限导流裂缝的产能公式 泄流区由长方体地层、圆柱体地层和裂缝3部分组成。裂缝区的流体与长方体及圆柱体地层的流体通过边界上压力相等这一条件来进行耦合, 分别推导出这3部分的流量公式。
有限导流能力裂缝中存在压降, 设裂缝尖端处压力为pc, 由于裂缝的宽度相比长度来说是非常小的, 流体主要是沿x方向流动, 因此可以忽略y方向上的流动, 将裂缝内的渗流简化为一维线性渗流。用单向流进行求解, 得到裂缝压力分布函数为
$$ p_{\mathrm{f}}=\frac{p_{\mathrm{c}}-p_{\mathrm{w}}}{x_{\mathrm{f}}} x+p_{\mathrm{w}} $$ (5) 式中, x为裂缝内任一点的横坐标值, m;pf为裂缝的压力, MPa; pc为裂缝尖端处压力, MPa。
裂缝的流量公式为
$$ q_{\mathrm{f}}=\frac{1.728 w_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}} h\left(p_{\mathrm{c}}-p_{\mathrm{w}}\right)}{\mu B_{\mathrm{o}} x_{\mathrm{f}}} $$ (6) 则裂缝的渗流阻力为
$$ R_{1}=\frac{\mu B_{0} x_{\mathrm{f}}}{1.728 w_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}} h} $$ (7) 式中, qf为裂缝的流量, m3/d; R1为裂缝的渗流阻力, MPa·d/m3; Kf为裂缝渗透率, D。
用单向流求解长方体泄流区, 将长方体泄流区等分成若干份, 如图 3所示, 每块宽Δx, 并且内边界压力均匀分布等于pf(xi), 单向流求解得到每块的流量表达式为
图 3 长方体泄流区等分图
Figure 3. Bisectrix diagram of cuboid drainage area
$$ \Delta q_{1}=\frac{0.864 K h}{\mu B_{\mathrm{o}}}\left(\frac{p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{f}}\left(x_{i}\right)}{r_{\mathrm{e}}}-G_{1}\right) \Delta x $$ (8) 式中, pf(xi)为长方体泄流区等分体的内边界压力, MPa; Δx为长方体泄流区等分体的宽度, m。
长方体泄流区的流量公式为
$$ q_{1}=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{0.864 K h}{\mu B_{\mathrm{o}}}\left(\frac{p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{f}}\left(x_{i}\right)}{r_{\mathrm{e}}}-G_{1}\right) \Delta x $$ (9) 直接积分得
$$ \begin{aligned} & q_{1}=3.456 \int_{0}^{x_{\mathrm{f}}} \frac{K h}{\mu B_{\mathrm{o}}}\left(\frac{p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{f}}(x)}{r_{\mathrm{e}}}-G_{1}\right) \mathrm{d} x\\ & =\frac{3.456 \mathrm{Kh} x_{\mathrm{f}}\left(p_{\mathrm{e}}-\frac{p_{\mathrm{c}}}{2}-\frac{p_{\mathrm{w}}}{2}-G_{\mathrm{l}} r_{\mathrm{e}}\right)}{\mu B_{\mathrm{o}} r_{\mathrm{e}}} \end{aligned} $$ (10) 长方体泄流区的渗流阻力为
$$ R_{2}=\frac{\mu B_{\mathrm{o}} r_{\mathrm{e}}}{3.456 \mathrm{Kh} x_{\mathrm{f}}} $$ (11) 式中, R2为长方体泄流区的渗流阻力MPa·d/m3。
平面径向流求解2个半圆柱体的流量, 内边界条件为
$$ p_{\mathrm{r}}\left(\frac{w_{\mathrm{f}}}{2}\right)=p_{\mathrm{c}} $$ (12) 流量公式为
$$ q_{\mathrm{r}}=\frac{5.4287 \mathrm{Kh}\left[p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{c}}-G_{2}\left(r_{\mathrm{e}}-w_{\mathrm{f}} / 2\right)\right]}{\mu B_{\mathrm{o}} \ln \left(\frac{2 r_{\mathrm{e}}}{w_{\mathrm{f}}}\right)} $$ (13) 圆柱体泄流区的渗流阻力为
$$ R_{3}=\frac{\mu B_{\mathrm{o}}}{5.4287 \mathrm{Kh}} \ln \frac{2 r_{\mathrm{e}}}{w_{\mathrm{f}}} $$ (14) 式中, pr为圆柱体泄流区的压力, MPa; R3为圆柱体泄流区的渗流阻力, MPa·d/m3。
垂直裂缝井产量q=qf=ql+qr, 联立公式(6)(10)(13)求得有限导流裂缝的产能公式为
$$ q=\frac{p_{\mathrm{e}}-p_{\mathrm{w}}-\frac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}} G_{1} r_{\mathrm{e}}-\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{3}} G_{2}\left(r_{\mathrm{e}}-w_{\mathrm{f}} / 2\right)}{\frac{R_{1}}{2}+\frac{1}{2} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{2}+R_{3}}+\frac{R_{2} R_{3}}{R_{2}+R_{3}}} $$ (15) 式中, q为垂直裂缝井产能, m3/d。
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研究区块为特低渗透巨厚砾岩油藏, 其相关参数基础数据为:供给半径为100 m, 储层有效渗透率为3.2 mD, 井筒半径为0.1 m, 油层厚度为20 m, 地层原油黏度为1.2 mPa·s, 原油体积系数为1.1, 供给压力为25 MPa, 裂缝半长120 m, 裂缝导流能力200 D·cm, 线性流启动压力梯度为0.005 MPa/m, 径向流启动压力梯度为0.01 MPa/m。
选择该区块T1、T2井进行验证, 这2口井同时压裂投产, 生产时间比较长, 油井的动态曲线上已体现出受效, 注水井与油井压力稳定, 油井产量稳定且基本都不产水, 因此其稳产阶段的平均产量与稳态产量具有可比性。由表 1可看出, 用有限导流裂缝产能公式计算的稳态产能与2口井的稳产阶段的平均产能基本吻合, 误差小于7.0%, 符合工程应用误差要求。
表 1 实际产能与预测结果对比
Table 1. Comparison between actual productivity and predicted result
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依据准噶尔盆地某区块的特低渗透巨厚砾岩油藏的基础参数数据分析裂缝参数对产能的影响。井底流压为10 MPa时, 不同裂缝半长下的产能曲线见图 4。随着裂缝半长的增加, 无限导流裂缝的产能呈线性增加, 一般裂缝都为有限导流裂缝, 在计算时将其近似为无限导流裂缝会造成较大的误差。有限导流裂缝的产能增长率逐渐减小, 裂缝在达到一定长度后增产效果不明显, 因此应在经济效益和增产效果间进行权衡, 选取最优化的方案。
图 4 裂缝半长对产能的影响
Figure 4. Effect of half fracture length on productivity
不同裂缝导流能力下的产能曲线见图 5。无限导流裂缝的产能不变, 有限导流裂缝的产能逐渐增加, 并不断逼近无限导流裂缝的产能。因此在裂缝导流能力非常高的情况下, 裂缝可以近似为无限导流。Agarwal[11]等人用解析法证明划分无限导流与有限导流的临界点是无因次导流系数等于500, 高于500为无限导流, 否则为有限导流。而Cinco-Ley和Smamniego-V[12]则认为临界点应为300。
图 5 裂缝导流能力对产能的影响
Figure 5. Effect of fracture conductivity on productivity
不同基质渗透率下的产能曲线见图 6。随着基质渗透率的增加, 压裂后的产能也在提高, 但产能的增长率在逐渐减小。与不采取压裂措施下的产能相比, 压裂所带来的增产效果在基质渗透率达到某一值时达到最大值, 之后随着基质渗透率的增大增产效果逐渐减小。因此, 压裂措施需与储层条件相匹配才能达到所预期的增产效果。
图 6 基质渗透率对产能的影响
Figure 6. Effect of matrix permeability on productivity
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(1) 将径向流与线性流有效地组合来建立低渗透油藏垂直裂缝井的渗流模型, 推导出了低渗透油藏无限导流和有限导流能力裂缝的产能公式, 并运用现场实例来进行验证, 有限导流裂缝产能公式计算的结果误差小于7%。公式简单, 便于推广应用。
(2) 在裂缝的导流能力未达到一定值时, 近似为无限导流会产生较大的误差; 当导流能力达到一定值后, 可近似为无限导流。
(3) 缝长增大产能提高, 但产能的增长率逐渐减小。基质渗透率越大, 压裂后的产能越高, 但相比于不采取压裂措施时的产能, 压裂所带来的增产效果会在某一渗透率时达到最大值。因此压裂的方案设计要与储层的基本条件相匹配才能在特定的经济条件下达到所预期的增产效果。
Prediction and analysis on productivity of vertically fractured wells in low-permeability oil reservoirs
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摘要: 压裂改造技术在低渗透油藏开发中应用广泛，不同的压裂方案所产生的增产效果也不同。为了达到所预期的增产效果，研究压裂后的产能对优化压裂设计有着重要的意义。为此，根据垂直裂缝井周围地层的渗透特征，建立径向流与双线性流复合的低渗透油藏垂直裂缝井渗流模型，考虑低渗透油藏存在启动压力梯度的影响，推导出了低渗透油藏无限导流裂缝和有限导流裂缝的产能公式，有限导流裂缝产能公式计算的结果与现场数据对比误差小于7%。依据准噶尔盆地某区块的特低渗透巨厚砾岩油藏的基础参数数据，绘制了不同影响因素下的产能曲线，并对曲线进行分析得出：裂缝的导流能力达到一定值后，才能近似为无限导流，否则会产生较大的误差；压裂的各项参数必须与储层条件相匹配，才能在现有的经济条件下达到所预期的增产效果。Abstract: Fracturing stimulation technology is widely applied in the development of low-permeability oil reservoirs, and the stimulation effect of different fracturing plans is different.To realize the expected stimulation effect, it is of great significance to optimize fracturing design by researching the postfrac productivity.In this paper, a seepage model combining radial flow with bilinear flow was established for vertically fractured wells in low-permeability oil reservoirs according to the permeability characteristics of formations around vertically fractured wells.Then, the productivity formulas of infinite-conductivity and finite-conductivity fractures in low permeability oil reservoirs were derived to deal with the starting pressure gradient of low-permeability oil reservoirs.The error between the calculation result of finite-conductivity fracture productivity formula and the field data is lower than 7%.Productivity curves for different influential factors were plotted on the basis of the basic parameters of thick conglomerate oil reservoir with extra low permeability in a certain block of the Junggar Basin, and then they were analyzed.It is shown that the fracture conductivity can't be approximated as the infinite conductivity until it reaches a certain value, or the error will be higher.In order to realize the expected stimulation effect in the current economic conditions, all fracturing parameters shall match reservoir conditions.
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图(6) / 表 (1)
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