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1885年, 麻省理工学院的Newell在固结岩石中发现了低速渗流“非线性”现象[1]。1924年, H. П. Пyзыpeвcкий首先指出, 在某些情况下, 只有超过某个起始的压强梯度才发生液体渗流。1945年, Ф. A. Tpeбин提出了“启动压力梯度”这一概念, 并提出了最早的低速非线性渗流数学模型[2]。之后的70年里, 很多学者从实验或理论角度提出了各种各样的低速非线性渗流数学模型[3], 但无一得到公认, 尤其有无启动压力梯度之争[4-7]已经持续了8年。
近5年来, 致密油藏的勘探开发引起国际重视, 中国也于2015年发现了国内第1个亿吨级大型致密油田[8], “水平井+体积压裂”技术获得成功。然而, 对致密油藏渗流理论研究的滞后制约了致密油藏的高效开发。实现致密油藏的高效开发需要建立致密油藏渗流力学, 而要建立致密油藏渗流力学, 则必须先要拥有致密油藏渗流本构方程。
几乎所有实验室给出的实验结果一致显示, 致密油藏渗流是低速非线性渗流。2015年, 齐成伟为通过室内岩心渗流模拟以检测地下低速渗流是否存在“非线性”而提出了“幂比方程”[1]。幂比方程与已有相关数学模型有何区别, 能否更有效地描述低速非达西渗流规律, 能否为有无启动压力梯度之争画上句号, 能否有益于创建致密油藏渗流力学?笔者针对这些问题进行了探索和研究。
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1951年, 前苏联学者B. A. Флopин于研究水在致密泥岩和硬黏土内流动期间提出了带启动压力梯度的低速非线性渗流数学模型[9]
$$ v_{x}=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \left(\frac{\partial p}{\partial x} \lt i_{0}\right) \\ -\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}\left(1-i_{0} / \frac{\partial p}{\partial x}\right) & \left(\frac{\partial p}{\partial x} \geqslant i_{0}\right) \end{array}\right. $$ (1) 式中, v为宏观流速, 即渗流速率, m/s; k为多孔介质渗透率, m2; μ为流体动力黏度, Pa·s; p为流体压强, Pa; x为Descartes坐标系的横坐标(作为角标, 示意方向), m; i0为启动压力梯度, Pa/m。
如图 1所示, 弗洛林方程是描述低速非线性渗流的最粗糙的两分段可微函数方程。之后出现的由不流动段、非线性弯曲段和拟线性段(斜线段)连接而成的各种三分段可微函数方程[3]虽能更精确地拟合实验数据, 但无疑会使后续的公式推演和数值计算陷入困境。
图 1 弗洛林渗流数学模型
Figure 1. Florin's mathematical model of fluid flowing in porous media
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2011年, 中国石油大学(华东)姜瑞忠等根据毛细管理论和边界层理论推导出具有一定理论基础的低速非线性渗流数学模型[10]
$$ v_{x}=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \left(\frac{\partial p}{\partial x} \lt c_{1}+c_{2}\right) \\ -\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}\left[1-c_{1} /\left(\frac{\partial p}{\partial x}-c_{2}\right)\right] & \left(\frac{\partial p}{\partial x} \geqslant c_{1}+c_{2}\right) \end{array}\right. $$ (2) 式中, c1反映了流体的屈服应力和边界层对渗流的共同影响, Pa/m; c2主要反映了边界层对渗流的影响, Pa/m。
若c1=0, 则姜瑞忠方程退化为达西方程; 若c2=0且c1≠0, 则c1⇔i0, 姜瑞忠方程退化为弗洛林方程。启动压力梯度为c1+c2, 且c1+c2≥0。如图 2所示, 姜瑞忠方程的渐近线方程为弗洛林方程。
图 2 姜瑞忠-黄延章渗流数学模型
Figure 2. Ruizhong Jiang & Yanzhang Huang's mathematical model of fluid flowing in porous media
姜瑞忠方程仍为具有C0连接点的两分段可微函数方程。C0连接点是连续但不可导的坐标点, 如图 1中的坐标点(i0, 0)和图 2中c1+c2 > 0情况下的坐标点(c1+c2, 0)。
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2013年, 中国科学院渗流流体力学研究所黄延章等在已有数学模型基础上, 提出了具有一定实验依据的低速非线性渗流数学模型[11]
$$ v_{x}=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \left(\frac{\partial p}{\partial x} \lt \lambda_{\mathrm{a}}\right) \\ -\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}\left[1-\lambda_{\mathrm{c}} /\left(\frac{\partial p}{\partial x}-\lambda_{\mathrm{a}}+\lambda_{\mathrm{c}}\right)\right] & \left(\frac{\partial p}{\partial x} \geqslant \lambda_{\mathrm{a}}\right) \end{array}\right. $$ (3) 式中, k/μ为“拟线性斜率”, m2/(Pa·s); λa为启动压力梯度, Pa/m; λc为拟启动压力梯度, Pa/m。
若λc=0, 则黄延章方程退化为达西方程; 若λa=λc≠0, 则λc⇔i0, 黄延章方程退化为弗洛林方程。λc等同于姜瑞忠方程中的c1, λa-λc等同于姜瑞忠方程中的c2。因而, 黄延章方程对-vx~∂p/∂x关系的描写与姜瑞忠方程相同。然而, 与姜瑞忠方程相比, 黄延章方程中每个参数都有了明确的物理意义, 是理论认识和实验结果的统一[3], 是两分段低速非线性渗流数学模型的极致。
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2015年, 重庆科技学院齐成伟将Darcy定律中的压强梯度分量写为幂比形式, 然后在分母中添加同指数干扰项使之不可约分, 得到了能描述低速渗流“非线性”现象的本构方程[1]
$$ v_{x}=-\frac{k}{\mu} \frac{(\partial p / \partial x)^{n+1}}{\wp^{n}+(\partial p / \partial x)^{n}} \quad(1 \leqslant n \in \bf{R}) $$ (4) 式中, n为非线性指数; ℘为渐近线截距, Pa/m。
如图 3所示, 若℘=0, 则式(4)退化为线性形式; 若n=1, 则式(4)退化为双曲“非线性”形式, 即“双飞燕方程”, 其渐近线过点(℘, 0)且斜率为k/μ; 若n > 1, 则式(4)曲线呈勺形, 其渐近线过点(0, 0)且斜率仍为k/μ, “渐近切点”对应∂p/∂x=℘/(n-1)1/n, 拐点对应∂p/∂x=℘[(n+1)/(n-1)]1/n。齐成伟称过点(℘, 0)的渐近线为“单向渐近线”, 称过点(0, 0)的渐近线为“双向渐近线”。
图 3 低速“非线性”渗流本构方程
Figure 3. Constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs
幂比方程为整体可微函数方程。与姜瑞忠-黄延章渗流数学模型相比, 幂比方程的代数形式简洁, 便于公式推演, 例如“正交幂比连续方程” (文献[12]式(4))的轻松推得。
齐成伟为什么创造不含启动压力梯度的低速非线性渗流数学模型呢?因为齐成伟认为“如果油水地下渗流存在启动压力梯度, 那么对于无限大等厚均质水平低渗储层内一口上下贯通的铅垂直井而言, 必然存在一个等启动压力梯度模圆柱面, 圆柱面内原油向井底汇流而圆柱面外原油不流动, 圆柱面上只有源源不断地凭空产生原油才能维持圆柱面内的径向汇流, 这显然十分荒谬。”除“启动压力梯度并不存在”的首倡者西南石油大学李传亮教授和幂比方程的创造者齐成伟外的相关科研工作者一致认为启动压力梯度真实存在, 仅国内篇名中、关键词中有“启动压力梯度”一词的论文就分别有233篇、1688篇。未经考察研究, 本文不予置评。
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笔者所在单位不具备实验条件, 因而本文将采用他人已经发表的实验结果。查阅国内外相关文献后发现李永寿的实验数据点平滑线呈勺形[13](图 4, 文献[13]图 2), 非常适合检验幂比方程。
右数第1点:0.012 5×108Pa/m, 1.70×10-7m/s; 右数第3点:0.008 0×108Pa/m, 0.92×10-7m/s; 右数第5点:0.004 0×108Pa/m, 0.18×10-7m/s。将这3组数据代入幂比方程, 联立为非线性方程组, 数值法求解, 得:k/μ≈1.444 4×10-13m2/(Pa·s), ℘≈5.3×105Pa/m, n≈3.5。
将k/μ、℘、n的数值代入幂比方程, 绘得-vx~∂p/∂x曲线, 即渗流速度与压强梯度关系曲线(图 5)。MATLAB绘图程序代码为:ezplot('1.4444*10^(-13)*pd^(3.5+1)/(pd^3.5+(5.3*10^5)^3.5)', [0, 0.0125 *10^8])。
图 5 幂比方程的拟合曲线
Figure 5. Fitted curve plotted from Power-Quotient Equation
将拟合曲线蒙到原始数据点上进行对比(图 6), 可以看出拟合效果非常如意, 臆想而来的幂比方程竟逆袭成功!
图 6 幂比方程（2015年）对实验数据（2012年）的拟合效果
Figure 6. Fitting effect of Power-Quotient Equation (2015) to core flow test results (2012)
幂比方程对0~4×105Pa/m之间数据点的拟合效果不如对(4~12.5)×105Pa/m之间数据点的拟合效果好, 是因为低流速的测量误差大于中高流速的测量误差, 数据点本身就不太精确。文献[4]图 5、文献[6]图 7、文献[10]图 1中的实验数据点平滑线均呈勺形, 只能采用幂比方程描绘, 因为姜瑞忠-黄延章渗流数学模型以及其他模型均不具备描绘勺形实验数据点平滑线的能力。
图 7 低渗透油藏渗流速度与压强梯度关系示意图
Figure 7. Diagram of relationship between pressure gradient and macroscopic flow velocity in reservoirs with low permeability
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在n≥2的情况下, 幂比方程渗流速度与压强梯度关系曲线的低速段非常贴近压强梯度轴, 看起来就像方程中存在启动压力梯度(项)一样。而实际上, 幂比方程的代数形式决定了只有在压强梯度等于0的情况下渗流速度才能等于0, 即方程中没有启动压力梯度(项)。如图 5所示, 2×104Pa/m对应的3.015 45 ×10-14m/s, 是1×105Pa/m对应的4.202 01×10-11m/s的0.717 622‰; 1×105Pa/m对应的4.202 01×10-11m/s, 是5×105Pa/m对应的3.244 06×10-8m/s的1.295 29‰。“令启动压力梯度似有实无”的幂比方程, 可谓神来之笔, 可令窦宏恩与李传亮间的油水地下渗流有无启动压力梯度之争[14-15]暂时告一段落。强调“暂时”是因为齐成伟只是从几何形态上隐去了启动压力梯度, 而不是从物理本质上证伪了启动压力梯度。
比较姜瑞忠-黄延章渗流数学模型与幂比方程的渗流速度与压强梯度关系曲线, 不难发现临近压强梯度轴的那几个实验数据点至关重要。如果那几个实验数据点的平滑线与压强梯度轴呈“相交”趋势, 则室内渗流测试中出现了启动压力梯度(现象), 故应采用姜瑞忠-黄延章渗流数学模型; 如果那几个实验数据点的平滑线与压强梯度轴呈“相切”趋势, 则室内渗流测试中未出现启动压力梯度(现象), 故应采用幂比方程。中国石油大学(华东)、中国石油大学(北京)、中国石油长庆油田分公司勘探开发研究院的实验数据[16-18]均显示了相切趋势, 因此幂比方程是最为真实地描写了低速非线性渗流本构关系且暂时平息了油水地下渗流有无启动压力梯度之争的数学模型。
将∂p/∂x=℘代入幂比方程得vx=-k℘/(2μ)。齐成伟认为“假设等于αk℘/(2μ)的渗流速率因低于高精度流速测量仪器的分辨率而无法测得, 则αk℘/(2μ)对应的压强梯度便是室内渗流测试中出现的所谓‘启动压力梯度’。”于是, 将∂p/∂x视为未知函数, 解方程
$$ \frac{(\partial p / \partial x)^{n+1}}{\wp^{n}+(\partial p / \partial x)^{n}}=\alpha \frac{\wp}{2} $$ (5) 便得因渗流速度低于流速测量仪器的分辨率而产生的所谓启动压力梯度
$$ \frac{\partial p}{\partial x}=\left\{\begin{array}{cc} {[\alpha+\sqrt{\alpha(8+\alpha)}] \wp / 4} & (n=1) \\ \left\{\alpha+\left[\alpha\left(54+\alpha^{2}-6 \sqrt{3} \sqrt{27+\alpha^{2}}\right)\right]^{1 / 3}+\right. \\ \left.\left[\alpha\left(54+\alpha^{2}+6 \sqrt{3} \sqrt{27+\alpha^{2}}\right)\right]^{1 / 3}\right\} \wp / 6 & (n=2) \\ \cdots & (\cdots) \end{array}\right. $$ (6) 若n是除1, 2, 3外的不小于1的实数, 则应采用数值方法求方程(5)的解。α为流速测量仪器分辨率与k℘/(2μ)的商, 0 < α < 1, 无因次。统称式(6)和分辨率方程(5)的数值解为“幽灵启动压力梯度”, 以切合“似有实无”之精义。
令启动压力梯度似有实无是务实的选择, 采用整体可微函数取代分段可微函数, 从而还原了真实而简单的本构关系, 为建立致密油藏渗流力学降低了公式推演上的难度。令启动压力梯度似有实无是睿智的思想, 从流速测量仪器分辨率和代数形式两方面, 巧妙地调和了油水地下渗流存在启动压力梯度和不存在启动压力梯度两种对立观点。
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国内最早的注水启动压差研究始于1981年的大庆油田科学研究设计院[19]。国内最早的低速非线性渗流的渗流速度与压强梯度关系示意图由黄延章于1997年根据大量实验数据绘制(图 7), 显示:“当压强梯度在较低的范围时, 渗流速度的增加呈上凹型非线性曲线, 反之渗流速度呈直线增加; 该直线段(斜线段)的延伸线与压强梯度轴的交点(不经过坐标原点)为启动压力梯度[20]。”1998年, 邓英尔将该启动压力梯度更名为拟启动压力梯度[21], 以区分流速为0情况下最大的压强梯度。于是现在普遍称刚刚开始流动的A点对应的压强梯度λa为启动压力梯度, 称C点对应的压强梯度λc为拟启动压力梯度或“名义启动压力梯度[4]”, 如式(3)。
随着实验精度的提高, 近几年的实验结果显示斜线段并不存在, 真实存在的是随着压强梯度增大而曲率减小的曲线段, 通过延长斜线段交于压强梯度轴来确定拟启动压力梯度的数值已经不可行。斜线段不存在, 显然意味着拟启动压力梯度也不存在。
幂比方程认同斜线段实为曲率随着压强梯度增大而减小的曲线段, 并暗含两条相互平行的渐近线将渗流速度与压强梯度关系曲线锁定在中间(图 3)。渗透率k从此有了正确的几何解释——k/μ的数值为渐近线(红虚线:双向渐近线; 蓝虚线:单向渐近线)的斜率, 而非杨正明所谓“拟线性斜率”。单向渐近线与压强梯度轴的交点为℘, 被定名为渐近线截距。若℘趋近于0, 则单向渐近线移动到与双向渐近线重合, 进而不管n取值如何, 渗流速度与压强梯度关系曲线都被两条渐近线夹缩成直线, 即低速非线性渗流退化为达西线性渗流。齐成伟摈弃拟启动压力梯度而采用渐近线截距, 其寓意之深远, 可见一斑。
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中国石油大学(华东)、中国石油大学(北京)、中国石油长庆油田分公司勘探开发研究院的实验数据点平滑线[16-18]显示了拐点的存在, 而只有幂比方程具备描绘拐点的能力。齐成伟认为“拐点的存在从理论上是可以解释的, 因为没有拐点就无法从低速非线性渗流平滑地过渡到‘中速近线性渗流’。没有拐点就没有‘渐近切点’, 没有渐近切点就无法趋近于线性渗流。”实验数据点平滑连接线上拐点的存在暗示中速近线性渗流的存在, 但被忽视了70年, 直到幂比方程出现并首次揭示出“低速非线性渗流在大于拐点对应的压强梯度后平滑地过渡到中速近线性渗流”这一事实。
需要强调的是, 线性关系的显著特征是关系曲线为一过原点的直线(如双向渐近线), 而关系曲线为一不过原点的直线(如单向渐近线)则称为直线关系, 切勿混淆。线性关系是直线关系的特例[22]。
幂比方程显示:非线性指数n取值为1, 中速渗流并非趋近于线性渗流; n取值稍微大于1, 如1.1, 1.01, 1.001, …, 中速渗流就趋近于线性渗流。在拟合实验数据方面, n=1与n=1.0…01差别微乎其微; 但是在描述物理本质方面, n的取值是否大于1, 决定了中速渗流能否向线性渗流逼近。齐成伟认为“幂比方程中非线性指数能否等于1, 或者说渗流速度与压强梯度关系曲线能否呈双曲形, 成为非线性渗流力学最为本质的问题之一”, 值得进行深入研究。
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代数形式方面:式如其名, 简约优美; 采用整体可微函数取代分段可微函数, 降低了后续公式推演上的难度。几何形态方面:不再有水平段(不流动段)、曲线段和斜线段的不光滑衔接而浑然一线, “水平段”实为非常贴近压强梯度轴且曲率渐大的曲线段, “斜线段”实为曲率渐小的曲线段; “双曲形”(双飞燕方程)、“勺形”、“直线形(达西方程)”三种形态随意变换。物理含义方面:用两条相互平行的渐近线的斜率表征渗透率与黏度的比值; 非线性指数越大则非线性越强。工程精度方面:是已有非线性渗流数学模型中最精确的; 是唯一能描绘勺形实验数据点平滑线的数学模型。因此, 齐成伟幂比方程可作为致密油藏渗流本构方程。于是, 正交幂比连续方程可作为“正交低速非线性渗流控制方程”。
(1) 必须清醒地认识到幂比方程在理论基础上的不足。尝试从流体力学、渗流机理等更基础更微观的层面推导出幂比方程, 得到低渗、超低渗、致密油藏渐近线截距和非线性指数的函数表达式, 这个类似于从热力学精细到统计热力学的愿景, 是未来长期且艰难的研究方向。郁伯铭建议将姜瑞忠的毛细管束几何模型更换为如丝瓜络一般三维延展的更加逼真的毛细管网或类Sierpiński海绵几何模型, 运用分形几何学结合流体力学重新推导, 以期在非线性指数与分形维数之间建立函数关系, 进而推得与幂比方程形式相似的准确方程。
(2) 确定了致密油藏渗流本构方程为幂比方程, 后续问题便是如何基于幂比方程创建致密油藏渗流动力学, 以追逐致密油藏的开发步伐。齐成伟指出“幂比方程中非线性指数为1和2两种情况下如何获取无限大等厚均质水平致密油藏内铅垂贯穿油藏的有限长直裂缝、两口等流量注采井、两口等流量联采井激发的渗流压强场函数是创建致密油藏渗流动力学的六则关键数学难题。”期待数学、物理学识深厚或理论研究经验丰富或对“非线性渗流动力学难题”感兴趣的业内或业外科研工作者为创建致密油藏渗流动力学做出卓越贡献。
(3) 齐成伟运用复变函数论和张量分析理论创建了“平面稳态流速场运动学通式”, 为流体运动学Lagrange描述时位显函数的成功获得提供了通用公式从而弥补了流体力学基础理论的不足, 为R. D. Wyckoff的注采舌进图(1933)提供了理论基础从而完善了流体力学和渗流力学教科书。低速非线性渗流场内, 忽略油水流度、密度差异的条件下, 水驱油水界面的移动变形图像会随着幂比方程中渐近线截距或非线性指数的变化产生怎样的变化呢?欢迎有志之士献身致密油藏渗流运动学研究, 谱写致密油藏水驱油理论的不朽篇章。
Constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs
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摘要: 岩心渗流测试显示致密油藏渗流是低速非线性渗流，而描写低速非线性渗流本构关系的数学模型已有很多。对已有低速非线性渗流数学模型中引用率较高的姜瑞忠方程、黄延章方程和最新出现的幂比方程进行对比分析，发现：幂比方程为整体可微函数方程，优于两分段可微函数方程形式的姜瑞忠方程和黄延章方程；幂比方程令启动压力梯度似有实无，巧妙地调和了存在启动压力梯度和不存在启动压力梯度两种对立观点，使致密油藏渗流研究不再纠缠于有无启动压力梯度，而姜瑞忠方程和黄延章方程中存在备受争议的启动压力梯度项；幂比方程首次从岩心渗流测试所得数据点的平滑线上拐点的存在，揭示出中速近线性渗流的存在并成功对其描述，而姜瑞忠方程和黄延章方程不具备描述中速近线性渗流的能力。因此，齐成伟幂比方程可作为致密油藏渗流本构方程。Abstract: To realize efficient development of tight reservoirs, mechanics of fluids in tight reservoirs should be established. In order to establish it, constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs must be available first. Core flow test suggests that fluid flowing through tight reservoirs belongs to low-velocity nonlinear flow in porous media, and there exist many mathematical models which describe the constitutive relation of low-velocity nonlinear flow in porous media, so constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs should be selected properly among all. Compare frequently referenced Ruizhong Jiang's equation and Yanzhang Huang's equation with newly appeared Power-Quotient Equation among those mathematical models, discovering that: Power-Quotient Equationis global differentiable functional equation, which is simpler than two-piecewise differentiable functional equations such as Ruizhong Jiang's equation and Yanzhang Huang's equation; Power-Quotient Equation makes starting pressure gradient seem to exist but actually not, and reconciles two contrasting views about whether starting pressure gradient exist or not, then leads the research of fluid flowing through tight reservoirs will not intertwine in whether starting pressure gradient exist or not any more, however there exists controversial starting pressure gradient term in Ruizhong Jiang's equation and Yanzhang Huang's equation; Power-Quotient Equation first reveals that near-linear flow at medium velocities in porous media exists and describes it successfully according to the existent inflection point on a smooth curve of the data points from core flow test, while Ruizhong Jiang's equation and Yanzhang Huang's equation failed to describe the near-linear flow at medium velocities in porous media. Thus, Chengwei Qi's Power-Quotient Equation can be used as constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs.
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图 2 姜瑞忠-黄延章渗流数学模型
Figure 2. Ruizhong Jiang & Yanzhang Huang's mathematical model of fluid flowing in porous media
图 3 低速“非线性”渗流本构方程
Figure 3. Constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs
图 6 幂比方程（2015年）对实验数据（2012年）的拟合效果
Figure 6. Fitting effect of Power-Quotient Equation (2015) to core flow test results (2012)
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